Кинематический вывод преобразований Галилея.

 Введём теперь, рассуждая совершенно аналогично тому, как мы это делали при выводе формул преобразований Лоренца, формулы преобразований Галилея, изменив процедуры построения полей времени в инерциальных системах отсчета K и K ’.

 Построение полей времени в системах отсчета K и K ’. Будем теперь считать, что в системе отсчёта  K среда, возбуждениями которой является свет, покоится. Тогда относительно системы отсчёта K’ эта Среда будет двигаться со скоростью u в отрицательном направлении оси x’. Новоземельскитй полигон длительное время использовался комплексно, но основу его ''работы'' составляли полномасштабные подземные ядерные испытания (ПЯИ).

 Процедуру построения локальных времён и синхронизации часов в системе отсчёта K оставим прежней. Но процедуру построения локальных времён в системе отсчёта K’ изменим. При синхронизации часов, помещённых в точке M но оси x’ с координатой x’M>0 , с помощью короткого импульсного светового сигнала, выпущенного из начала координат x’ = 0 в начальный момент времени t’ = 0, в момент прихода сигнала в точку M , на часах в точке M теперь поставим не время r/c , где r - расстояние между O и M , а время

  r  .

c + u

Аналогично поступим с точкой M на оси x’ с координатой x’M<0. В ней на часах в момент прихода сигнала поставим время

  r  .

c - u

Основные соотношения. Рассмотрим снова три мгновенных точечных события. В системе отсчёта K они выглядят следующим образом. В точке x1 на оси x в момент t’1 пусть испускается короткий световой импульс в положительном направлении оси x. В момент t’2 пусть он приходит в точку x2 на оси x, отражается в ней и в момент t’3 возвращается в точку x1 , так что x1 = x3.

 Согласно принятым процедурам построения полей времени в системах отсчета K и K ’ , имеем теперь следующие шесть основных соотношений:

Нахождение функций j и y. Составим сначала функциональное уравнение для функции j. Имеем

Вычтем первое соотношение из третьего и результат сравним со вторым соотношением. Получим тогда уравнение

или

то есть

С учётом соотношений

отсюда приходим к следующему окончательному функциональному уравнению для определения вида функции j:

которое удовлетворяется при любых значениях независимых переменных и x1 , x2 и t1 . Чтобы разрешить это функциональное уравнение, продифференцируем его по x2 и получим из него продифференцированное функциональное уравнение:

Положим в этом уравнении. x1 = x2 = x & t1 = t. Придем к уравнению

так что имеем очень простое дифференциальное уравнение

или

для определения вида функции .

Общее решение последнего уравнения имеет вид

где F - произвольная функция. Подставим эту формулу в приведенное выше продифференцированное функциональное уравнение. Учтем, что

и поэтому получим соотношение

Так как

то приходим к следующему уравнению

справедливому при любых значениях x1,x2,t1. Аргументы функций в правой и левой частях принимают произвольные значения при произвольных x1,x2,t1. Следовательно,

а потому , игнорируя получаем

где a и b- некоторые пока не определенные постоянные.

Составим теперь функциональное уравнение для функции y. Имеем

где G - произвольная функция. Вычитая первое уравнение из третьего уравнения и сравнивая полученный результат со вторым уравнением, получаем соотношение

Следовательно,

или

Отсюда непосредственно приходим к следующему основному функциональному уравнению для функции :

Разрешим это уравнение, для чего сначала продифференцируем его по x2. Тогда получим уравнение

Полагая в этом последнем уравнении и, приходим к

дифференциальному уравнению

или совсем простому уравнению

Следовательно,

Подставив эту формулу для в приведенное выше продифференцированное функциональное уравнение. Получим

Следовательно,

Так как величины  совершенно произвольны, то аргументы функций G в правой и левой частях могут принимать совершенно произвольные значения. Поэтому

а следовательно,

где  - пока произвольные постоянные.

Определение констант  Мы получили следующие формулы преобразования координат и времен мгновенного точечного события:

Найдем константы начнем с того, что выставим требование о согласовании начал отчетов координат и времени в обеих системах отсчета  и .

Требование 1. Событие, имеющее координаты 0, 0 в системе отсчета , имеет координаты 0, 0 в системе отсчета , и наоборот.

Следовательно, в приведенных формулах  и формулы преобразования приобретают следующий вид:

Приведенные формулы преобразования мы получили как следствия наших шести основных соотношений. В них входят пока не определенные нами величины и.

Подставив эти формулы преобразования обратно в исходные шесть соотношений, мы можем найти ограничения на константы и. Так, собственно говоря, и получается. Действительно, имеем равенства

Как видим, чтобы эти равенства выполнялись, необходимо потребовать, чтобы константы и были равны друг другу:

Таким образом, искомые формулы преобразования координат мгновенного точечного события имеют вид

где  - пока не определенная константа .

Как и в случае преобразований Лоренца, воспользуемся тем, что у нас имеется произвол в выборе единиц измерения либо длинны, либо времени в обеих системах отсчета  и . Чтобы фиксировать указанный произвол, выставим дополнительное требование.

Требование 2. Длина l движущегося в системе  стержня, покоящегося в системе , ориентированного вдоль оси и имеющего в этой системе длину , т.е. .

Рассмотрим движущийся стержень, все время покоящийся в системе отсчета  между точками от  с координатами  и .

Пусть в одинаковые локальные моменты времени в системе отсчета  левый конец стержня совпал с точкой оси x, с координатой(событие A), (событие B). Тогда

Вычитая второе равенство из первого, с учетом условия получаем

и так как согласно требованию 2, то приходим к заключению, что

Итак, мы вывели с помощью исключительно кинематических рассуждений, аналогичных использованным Эйнштейном при выводе формул преобразований Лоренца, формулы преобразований Галилея: