Дивергенция

Электрическое поле имеет определенную величину и направление в каждой точке, т.е. E=E(x,y,z). В математике для характеристики локальных свойств векторных полей, т.е. их свойств в окрестности некоторой точки, вводятся соответствующие дифференциальные величины. Одной из них является дивергенция. По определению дивергенция векторной функции a (обозначается div a) есть следующая скалярная функция координат

где V - объем, в котором находится некоторая точка, а S - окружающая этот объем поверхность произвольной формы. Таким образом div a является потоком этого вектора наружу из объема V, приходящимся на единицу объема в пределе, когда V стягивается к этой точке.

где a_x1и a_x2 средние значения проекций a_x на гранях, к которым на рис. 2.7 проведены соответствующие нормали.

Приближенно можно записать, что

Тогда

где DV - объем ящика.

По аналогии можно записать и компоненты потока через пары противоположных граней, перпендикулярных осям y и z. Тогда полный поток вектора a через всю поверхность ящика будет

Устремляя объем ящика к нулю, путем стягивания его к точке P перейдем от приближенного равенства к точному и получим, согласно определению дивергенции (2.13), что в декартовых координатах

Учитывая, что векторный оператор набла определен в декартовых координатах как

можно представить дивергенцию в виде скалярного произведения оператора набла на вектор a:

,

причем представление дивергенции в виде скалярного произведения оператора набла на вектор сохраняет силу и для других систем координат (цилиндрической, сферической и т.д.). И вектор и оператор набла должны быть, естественно, записаны в одной и той же системе (см. Лекцию 3, где оператор набла представлен в полярной системе координат).

Для выяснения физического смысла понятия дивергенции в случае электрического поля обратимся к представлению поля E силовыми линиями. Если в окрестности точки P зарядов нет, то количество линий входящих в ящик будет равно числу линий выходящих из ящика. Таким образом поток через всю поверхность, окружающую точку P, будет равен нулю, а с ним будет равна нулю и дивергенция (см. 2.13). Если вблизи точки P есть положительный заряд, то выходящие из него линии создадут дополнительный поток из ящика и, поскольку выходящие линии ориентированы в сторону внешней нормали к стенкам ящика, знак этого дополнительного потока будет положительным (а в случае отрицательного заряда в точке P - отрицательным). Тогда дивергенция будет мерой этого дополнительного потока на единицу объема, возникающего или исчезающего в точке P.

Основная задача электростатики

Задача заключается в определении функции j(x,y,z), которая удовлетворяет уравнению (4.3), а также определенным граничным условиям. Граничные условия - это значения j(x,y,z) во всех точках поверхности, охватывающей область, в которой определена функция j. При этом на поверхности, удаленной в бесконечность, потенциал j принимается равным нулю. На проводящих поверхностях могут быть заданы потенциалы каждого проводника или величина полного заряда на каждом проводнике. Объемные заряды предполагаются отсутствующими, ибо заряды проводников сосредоточены на их поверхности. Электричество и электромагнетизм Курс лекций по физике

Основная задача электростатики может быть сформулирована следующим образом.

Дано: расположение и форма всех проводников, а также либо потенциал каждого проводника, либо общий заряд каждого проводника.

Найти: поле этих проводников и распределение зарядов по их поверхности.

В теории доказывается, что существует только одна функция j(x,y,z), удовлетворяющая уравнению Лапласа и принимающая на границах заданные значения, т.е., что решение задачи единственно.

Однозначность решения позволяет заключить, что как угодно найденная любая функция j(x,y,z), являющаяся решением уравнения и удовлетворяющая граничным условиям есть единственное и потому истинное решение задачи.