Электрическое поле

Заряд изменяет свойства окружающего его пространства, т.е. он создает вокруг себя нечто материальное, посредством чего осуществляется взаимодействие между зарядами. Это нечто и называется электрическим полем. Для обнаружения и исследования электрического поля нужно воспользоваться пробным зарядом. Пробный заряд должен быть точечным и малым (чтобы не искажать поле своим присутствием). Поле характеризуется величиной напряженности, которая численно равна силе, действующей на единичный пробный заряд:

(1.4)

Направление вектора напряженности совпадает с направлением силы, действующей на положительный заряд.

В математике вводится определение векторного поля как части пространства, каждой точке которого сопоставлен вектор. Так совокупность векторов E образует поле вектора напряженности электрического поля. Графически поле E изображается при помощи силовых линий напряженности.

Из (1.3)-(1.4) следует, что напряженность поля системы зарядов равна векторной сумме напряженности полей, которые создавал бы каждый из зарядов системы в отдельности:

(1.5)

Это положение называется принципом суперпозиции. Следует отметить, что выражение (1.5) отнюдь не тривиально, а выражает собой закон природы.

Принцип суперпозиции позволяет вычислить напряженность поля любой системы зарядов. Пусть имеется N точечных зарядов разных знаков, расположенных в точках пространства, с радиус-векторами r_i . Требуется найти поле в точке с радиус-вектором r_o . Тогда, так как r_io = r_o-r_i , то результирующее поле будет равно:  

В силу симметрии распределения заряда проекции E_x и E_y вектора E в любой точке на оси кольца должны быть равны нулю. Тогда E= E_z k. Проекцию E_z найдем по формуле (1.7):

Равенство нулю проекций E_x и E_y можно получить и чисто формально из (1.7):

Основная задача электростатики

Задача заключается в определении функции j(x,y,z), которая удовлетворяет уравнению (4.3), а также определенным граничным условиям. Граничные условия - это значения j(x,y,z) во всех точках поверхности, охватывающей область, в которой определена функция j. При этом на поверхности, удаленной в бесконечность, потенциал j принимается равным нулю. На проводящих поверхностях могут быть заданы потенциалы каждого проводника или величина полного заряда на каждом проводнике. Объемные заряды предполагаются отсутствующими, ибо заряды проводников сосредоточены на их поверхности. Электричество и электромагнетизм Курс лекций по физике

Основная задача электростатики может быть сформулирована следующим образом.

Дано: расположение и форма всех проводников, а также либо потенциал каждого проводника, либо общий заряд каждого проводника.

Найти: поле этих проводников и распределение зарядов по их поверхности.

В теории доказывается, что существует только одна функция j(x,y,z), удовлетворяющая уравнению Лапласа и принимающая на границах заданные значения, т.е., что решение задачи единственно.

Однозначность решения позволяет заключить, что как угодно найденная любая функция j(x,y,z), являющаяся решением уравнения и удовлетворяющая граничным условиям есть единственное и потому истинное решение задачи.