Поле в полости

Покажем, что в пустой полости внутри проводника электрическое поле равно нулю. Функция j(x,y,z) должна удовлетворять уравнению Лапласа всюду внутри полости. Вся граница полости (или замкнутой проводящей оболочки) является эквипотенциальной, т.е. на ней j = j_о. Одним из решений уравнения (4.3) является решение j(x,y,z)=const во всей области определения функции, т.е. во всем объеме полости. Выберем в качестве этой константы j_о. Тогда полученное решение удовлетворяет граничным условиям, причем это единственное решение. Для напряженности поля получим E= -grad j_о= 0. Таким образом в электростатике никаким распределением зарядов снаружи замкнутой проводящей оболочки невозможно создать поле внутри нее.

Емкость

Электроемкость или просто емкость - это мера способности проводника накапливать электрический заряд. Потенциал уединенного проводника произвольной формы пропорционален его заряду. Пропорциональность между зарядом, сообщенном проводнику, и его потенциалом возникает из-за принципа суперпозиции. Пусть известно решение уравнения Лапласа во всем пространстве вокруг проводника, при заданном заряде проводника в качестве граничных условий. Если согласно принципу суперпозиции наложить на это решение другое такое же решение для тех же граничных условий, то заряды и поля удвоятся и работа по переносу заряда из бесконечности в данную точку поля тоже удвоится. По этой причине потенциал проводника пропорционален его заряду. Численно емкость равна заряду q, который необходимо сообщить уединенному телу для изменения его потенциала j на единицу, и определяется соотношением C=q/j. За единицу емкости принимают емкость такого проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда в 1 Кл. Эта единица емкости называется Фарадом (Ф).

Вычислим емкость проводящего шара радиуса R в вакууме. Заряд проводника сосредоточен на его поверхности. Поле заряженной сферы легко находится с помощью теоремы Гаусса:

Потенциал сферы равен

Тогда емкость равна C=q/j = 4pe_oR.

Основы матричных методов расчета электрических цепей Электростатика Электричество и электромагнетизм

Рассмотренные методы расчета электрических цепей - непосредственно по законам Кирхгофа, методы контурных токов и узловых потенциалов - позволяют принципиально рассчитать любую схему. Однако их применение без использования введенных ранее топологических матриц рационально для относительно простых схем. Использование матричных методов расчета позволяет формализовать процесс составления уравнений электромагнитного баланса цепи, а также упорядочить ввод данных в ЭВМ, что особенно существенно при расчете сложных разветвленных схем.
Переходя к матричным методам расчета цепей, запишем закон Ома в матричной форме.