Мультипольное разложение

Для определения расстояния от i-того заряда до точки P воспользуемся теоремой косинусов (см. рис. 3.3):

Учитывая, что r_i/r_o << 1, выражение в скобках можно представить как (1+Dx), где Dx - малая величина, по степеням которой можно сделать разложение в ряд. Ограничиваясь линейными по r_i/r_o членами, получим следующее выражение:

Тогда для потенциала (3.7) будем иметь

Величинаназывается электрическим дипольным моментом системы зарядов.

[an error occurred while processing this directive]

Окончательно для потенциала системы зарядов, расположенной вблизи начала координат, в удаленной от нее точке, характеризуемой радиус-вектором r, имеем

Как следует из полученного выражения, при не равном нулю суммарном заряде потенциал определяется в основном первым членом, стоящим в скобках в (3.8), потому что он ~1/r, тогда как второй член ~1/r². Однако во многих важных случаях суммарный заряд системы равен нулю, как это имеет место, например, для молекулы. Расположение же зарядов может быть таково, что дипольный момент системы отличен от нуля. Тогда потенциал определяется вторым членом. Заметим, что и при равном нулю дипольном моменте потенциал системы, вообще говоря, не равен нулю, а определяется членами высших порядков в разложении по степеням r_i/r_o. Напомним, что речь все время идет о потенциале в точках, расположенных на большом удалении от системы.

Для диполя из (3.8) легко получается выведенное ранее выражение (3.2).

Основная задача электростатики

Задача заключается в определении функции j(x,y,z), которая удовлетворяет уравнению (4.3), а также определенным граничным условиям. Граничные условия - это значения j(x,y,z) во всех точках поверхности, охватывающей область, в которой определена функция j. При этом на поверхности, удаленной в бесконечность, потенциал j принимается равным нулю. На проводящих поверхностях могут быть заданы потенциалы каждого проводника или величина полного заряда на каждом проводнике. Объемные заряды предполагаются отсутствующими, ибо заряды проводников сосредоточены на их поверхности. Электричество и электромагнетизм Курс лекций по физике

Основная задача электростатики может быть сформулирована следующим образом.

Дано: расположение и форма всех проводников, а также либо потенциал каждого проводника, либо общий заряд каждого проводника.

Найти: поле этих проводников и распределение зарядов по их поверхности.

В теории доказывается, что существует только одна функция j(x,y,z), удовлетворяющая уравнению Лапласа и принимающая на границах заданные значения, т.е., что решение задачи единственно.

Однозначность решения позволяет заключить, что как угодно найденная любая функция j(x,y,z), являющаяся решением уравнения и удовлетворяющая граничным условиям есть единственное и потому истинное решение задачи.