Система двух электронов 

 Волновая функция двухэлектронной системы удовлетворяет условию антисимметрии:

.

 Определим сначала оператор спина системы:

 .

Здесь индексы (1) и (2) нумеруют спиновые подпространства отдельных электронов в спиновом пространстве системы . В каждом из подпространств имеем базисные векторы:

,

которые являются собственными векторами операторов и . В пространстве  в качестве базиса можно выбрать 4 вектора

.

 Удобно выбрать новый базис, состоящий из собственных векторов операторов квадрата полного спина и его проекции на ось :

 Замечание. Мы используем здесь сокращенную запись операторов двухчастичной системы. Точная запись, например, оператора проекции спина такова:

.

 Легко проверить, что указанный базис имеет вид:

Смысл индексов векторов  таков:

.

 Прямая проверка проводится с помощью формул:

Например,

Следовательно, .

 С точки зрения теории групп мы доказали, что

.

Это частный случай теоремы о разложении прямого (тензорного) произведения неприводимых представлений  группы  в прямую сумму неприводимых представлений:

.

Базисные векторы в пространстве представления  размерности имеют вид:

.

Они являются собственными векторами операторов момента и  (см. п. 7). Коэффициенты разложения  называются коэффициентами Клебша – Гордана. Мы нашли их явный вид для частного случая .

 Введя дискретные спиновые переменные для электронов  и , запишем найденные базисные векторы  в виде функций двух переменных:

При этом три симметричные функции образуют базис в пространстве , а антисимметричная функция  - в .