Волновые свойства электронов

 И так Бор пришел к выводу о существовании дискретного множества стационарных состояний атома с энергиями .
Далее он предположил, что излучение атома возникает при его переходе из одного стационарного состояние  в другое (с меньшей энергией). Частота соответствующей спектральной линии определяется правилом, следующим из закона сохранения энергии:

.
Это и есть знаменитое правило частот Бора. В соответствии с гипотезой Эйнштейна при переходе излучается фотон с энергией .

 Применив правило частот к атому водорода, Бор получил формулу Бальмера, найдя при этом выражение для постоянной Ридберга через фундаментальные физические постоянные:

.

Вычисленное значение прекрасно согласуется со значением, полученным из спектроскопических измерений.
Дальнейшее развитие теории Бора потребовало найти методы квантования систем с несколькими степенями свободы. Важный класс таких систем – квазипериодические системы с разделяющимися переменными. В этом случае правила квантования применяются к каждой независимой паре канонических переменных :

 

Таким образом, число вводимых квантовых чисел  равно числу степеней свободы . Условия квантования квазипериодических систем были сформулированы независимо Вильсоном и Зоммерфельдом (W. Wilson, A. Sommerfeld) в 1915-16 г. Применение этих условий к эллиптическим электронным орбитам в атоме водорода дало известный результат Бора для энергии стационарных состояний вследствие специфики кулоновского потенциала (совпадение периодов изменения разделяющихся сферических координат , что приводит к зависимости квантованных значений энергии только от суммы целых чисел ).