Волновые свойства электронов
Итак, электромагнитное излучение обладает как волновыми,
так и корпускулярными свойствами (корпускулярно-волновой дуализм). Этот
дуализм неразрывно связан с существованием постоянной Планка 
- кванта действия. Квантование действия
можно получить, обобщив планковское правило квантования энергии осциллятора.
Запишем гамильтониан осциллятора – интеграл движения:
.
Отсюда видно, что его фазовая траектория – эллипс с полуосями
и 
. Площадь эллипса 
равна контурному интегралу по фазовой
траектории (в классической механике он называется переменной действия):
,
где учтен планковский постулат. Мы получили правило квантования произвольной одномерной системы, совершающей периодическое движение. Оно впервые было выведено самим Планком.
В 1913 г. Бор (N. Bohr) применил это правило к атому водорода,
рассмотрев частный случай движения электрона в кулоновском поле ядра по
круговой орбите. Выбрав в качестве координаты азимутальный угол 
, для соответствующего канонического импульса
- интеграла движения получаем
условие квантования:
, или 
.
Для частицы массы 
, движущейся со скоростью 
по окружности радиуса 
(в плоскости (
)), имеем 
, т.е. - 
компонента момента импульса, или углового момента, 
. Таким образом, - квант углового момента.
Учтем уравнение движения электрона с зарядом -
в кулоновском поле ядра с зарядом ,
,
и квантование момента: 
. Отсюда находим квантованные значения энергии электрона
в атоме водорода:
.