Соотношение неопределенностей
Пусть две наблюдаемых 
и 
не коммутируют. Тогда их коммутатор имеет вид:
,
где 
- эрмитов
оператор. Покажем, что дисперсии наблюдаемых в произвольном состоянии 
удовлетворяют ограничению
.
Оно называется соотношением неопределенностей и получено впервые Гейзенбергом
(W. Heisenberg) в 1927 г. для частного случая наблюдаемых 
и 
.
Его общее доказательство принадлежит Вейлю (H. Weyl). Введем наблюдаемые
,
и рассмотрим неотрицательную функцию действительного параметра
:
Ввиду произвольности дискриминант полученного квадратного трехчлена должен быть
неположительным:
.
С учетом равенства 
получаем
отсюда приведенное выше соотношение неопределенностей (СН).
Для коммутирующих наблюдаемых правая часть СН обращается в нуль, что соответствует, как мы видели выше (см. п. 3), одновременной измеримости таких наблюдаемых.
Для некоммутирующих наблюдаемых СН накладывает ограничение
на точности, с которыми могут быть одновременно заданы (измерены) эти наблюдаемые.
Наиболее сильное ограничение имеется в случае, когда 
для любых состояний , например, если 
, где 
. В этом случае не существует состояний, в которых обе наблюдаемых
имеют определенные значения.