Условия одновременной измеримости наблюдаемых
Рассмотрим условия, при которых две наблюдаемых 
и 
могут быть одновременно измерены. Пусть в некотором состоянии
они имеют определенные значения. Тогда, как мы уже знаем, вектор состояния
должен быть собственным для операторов 
и 
:
.
Предположим, что 
образуют полную систему собственных векторов. Тогда для
произвольного вектора состояния
имеем
.
Ввиду произвольности 
получаем операторное равенство
,
т.е. наблюдаемые должны коммутировать.
Это утверждение обобщается на случай произвольного (смешанного)
спектра и представляет собой известную теорему из функционального анализа:
если два оператора имеют общий полную систему собственных векторов, то они коммутируют. Справедлива и обратная теорема: если 
, то операторы и имеют общую систему собственных функций.
Определим полный набор коммутирующих наблюдаемых 
:
1) операторы 
попарно коммутируют, 
; 
;
2) ни один из операторов не является функцией от остальных;
3) любой оператор, коммутирующий со всеми , есть функция от этих
операторов.
Из изложенного выше следует,что существует общая полная система
собственных векторов полного набора наблюдаемых:
.
Поэтому произвольный вектор состояния может быть представлен
в виде
,
причем 
есть
вероятность получить в результате одновременного измерения наблюдаемых 
значения 
.
Таким образом, состояние системы в квантовой механике можно задать полным набором значений наблюдаемых. Их число называется числом степеней свободы системы. В общем случае оно определяется из опыта. В частных случаях это число совпадает с числом степеней свободы соответствующей
классической системы.
Полный набор наблюдаемых может быть задан многими способами. Его фиксация
определяет некоторое представление пространства состояний квантовой системы
функциями
,
определенными на спектре операторов . Функция 
называется волновой функцией системы в данном представлении.