Условия одновременной измеримости наблюдаемых
Как мы уже видели, предсказания квантовой теории носят вероятностный характер. Выясним, когда измерение наблюдаемой 
дает определенный результат. Рассмотрим отклонение
от среднего 
. Ему отвечает
наблюдаемая 
, где 
-
единичный оператор (в дальнейшем его будем опускать). Дисперсия случайной
переменной в состоянии 
равна
.
Она обращается в нуль только при 
, или
.
Следовательно, в указанном состоянии наблюдаемая имеет определенное значение,
которое совпадает с одним из собственных значений оператора наблюдаемой.
Само состояние описывается волновой функцией, представляющей собой собственный
вектор оператора.
В дальнейшем для краткости, если это не приведет к недоразумению, мы будем отождествлять понятия состояния и соответствующей ему волновой функции (используется также термин вектор состояния), наблюдаемой и оператора наблюдаемой.
Пусть наблюдаемая 
имеет дискретный спектр:
,
причем система собственных функций 
полна и ортонормированна, т.е. образует базис в пространстве
состояний:
.
Здесь - произвольный
вектор с единичной нормой. Имеем следующие соотношения:
.
Отсюда следует, что
есть вероятность получить значение 
наблюдаемой при измерении в состоянии , причем значений 
на опыте обнаружить нельзя.
Если наблюдаемая имеет непрерывный спектр 
, то
.
Тогда
- плотность вероятности, т.е. 
- вероятность обнаружить значение в
интервале 
.
При этом
.
Условие ортонормированности заменяется условием нормировки
на 
-функцию:
.