Волновой пакет и его эволюция

Рассмотрим специальное решение уравнения Шрёдингера для свободной

частицы в одномерном случае:
,

где  - функция, модуль которой имеет резкий максимум в некоторой точке  и быстро убывает при . Такое решение называется волновым пакетом.
Ограничимся для определенности частным случаем прямоугольного пакета:

где .
Вычислим интеграл по  приближенно, используя разложение частоты   в окрестности :

.
С учетом лишь линейных членов разложения получим пакет в виде
.

Здесь переменная амплитуда

,

где . При  пакет представляет собой амплитудно-модулированную волну - это почти монохроматическая волна, амплитуда которой заметно изменяется на сравнительно больших временном и пространственном интервалах:

 .

 В рассматриваемом случае амплитуда  имеет максимум, равный , в точке . Следовательно, максимум (центр пакета) движется равномерно со скоростью

,

которая называется групповой скоростью (пакетгруппа волн). Пакет сосредоточен в окрестности максимума амплитуды  и имеет указанные выше размеры  и  в пространстве и во времени. Его фурье-образ  имеет соответственно размеры  и , причем выполнены соотношения

,

которые, конечно, известны в теории преобразования Фурье.