Перейдем к новой функции 
. Для нее получаем:
.
В силу УГЯ для 
функция 
удовлетворяет нелинейному уравнению. Однако для объяснения
явлений интерференции и дифракции необходимо выполнение принципа суперпозиции.
Поэтому уравнение для должно быть линейным. Оно следует из квантового обобщения
уравнения Гамильтона – Якоби (КУГЯ)
и имеет вид:
.
Это уравнение Шрёдингера для частицы в потенциальном поле. Введенный
линейный оператор 
называется
оператором Гамильтона, или гамильтонианом.
Линейное УШ эквивалентно нелинейному КУГЯ, причем в общем
случае как , так и - комплекснозначные функции. КУГЯ переходит
в классическое УГЯ при условии
В этом приближении допустимо использовать классическое
выражение для импульса 
. Тогда
находим
, или 
,
т.е. относительное изменение импульса на дебройлевской
длине волны 
должно быть малым.
В одномерном случае получаем простое условие
,
т.е. 
должна слабо изменяться
при изменении координаты 
. При 
выполняется закон сохранения энергии:
.
Отсюда находим
,
где 
-ньютоновская
сила. Условие применимости классического уравнения Гамильтона – Якоби принимает
в стационарном одномерном случае вид:
,
т.е. работа силы на дебройлевской длине волны должна быть
мала по сравнению с кинетической энергией частицы. Это условие заведомо
нарушается в окрестности точки поворота 
, где 
, и, следовательно, 
.
Более подробно условия применимости классической механики мы обсудим позже
(см. п. 5).