Для монохроматической волны имеем

,

и учет закона дисперсии приводит к дифференциальному уравнению для волновой функции
.

Это и есть уравнение Шрёдингера (E. Schrödinger) для свободной частицы, полученное им в 1926 г. Ввиду линейности этого уравнения (параболического типа) оно выполняется для произвольной суперпозиции монохроматических волн:

,

представляющей собой общее решение.

 Возникает вопрос о связи уравнения Шрёдингера (УШ) и уравнений классической механики. Заметим, что фаза монохроматической волны связана с решением  уравнения Гамильтона – Якоби (УГЯ) для свободной частицы

очевидным соотношением
,

а сама волновая функция выражается через  в виде
.
Подставив это выражение в УШ, получим для  уравнение
,

которое отличается от УГЯ дополнительным слагаемым, пропорциональным постоянной Планка , и эквивалентно УШ. В частном случае, когда  - линейная функция , это слагаемое обращается в нуль. В общем же случае УШ для  переходит в УГЯ для  только в (формальном) пределе .
Используем установленную связь УШ и УГЯ, чтобы найти УШ для частицы, движущейся в потенциальном силовом поле . Запишем соответствующее классическое УГЯ:

.