Поля, создаваемые распределениями зарядов с хорошей симметрией

Ну и сразу такое определение: при достаточно хорошей симметрии напряжённость поля может быть найдена из уравнения . Значит, при достаточно хорошей симметрии поле всегда может быть найдено вот из этой интегральной теоремы. Ну, у нас это первое уравнение Максвелла. А теперь частные случаи.

1) Центральная (сферическая) симметрия. Пусть плотность заряда  есть . Значит, плотность, которая, вообще, функция координат точки , зависит только от , то есть только от расстояния до начала координат, это означает, что начало координат – центр симметрии. Вот эта формулка = означает, что плотность на любой сфере радиуса r – константа, какая-то там плотность, ну, и отличная от нуля, на любой сфере она постоянна. Это означает, что распределение обладает сферической симметрией, и создаваемое им поле будет также обладать сферической симметрией. Отсюда следует, что  (потенциал как функция точки) это есть . Отсюда эквипотенциальные поверхности – сферы с центром в начале координат, то есть вот на любой сфере потенциал – константа. Отсюда далее следует, что силовые линии поля, которые являются всегда ортогональными к эквипотенциальным поверхностям, силовые линии поля – вот такие радиальные лучи:

Конструкция электрического поля может быть только такая. А теперь заметьте, здесь никакой специфики электричества не было, все эти выводы получены только из соображений симметрии. Любое векторное поле имело бы такую структуру, какая бы физическая природа у него ни была. Только сила соображения симметрии очень часто позволяет делать выводы безотносительно к конкретному предмету разговора.

=, отсюда дальше следует, что напряжённость поля на любой сфере может быть представлен так: . Вот это , радиус-вектор, делённый на собственный модуль, есть единичный вектор  в направлении радиус-вектора. Всё. Пишем дальше эту формулу . В качестве замкнутой поверхности, которая фигурирует в интеграле (поток вычисляется по замкнутой поверхности), выбираем сферу . Мы её (поверхность) можем брать любой, равенство от этого не зависит, но удобно взять . Пишем: . Это равенство вследствие того, что , - единичный вектор в направлении радиус-вектора (это вектор нормали к сфере, но нормаль к сфере в данной точке совпадает по направлению с радиус-вектором данной точки, эти векторы параллельны), а проекция радиус-вектора на самого себя – это его модуль, конечно, . Дальше,  во всех точках сферы одно и тоже, выносим за знак интеграла:  (вот это всё была математика, она к физике никакого отношения пока не имела, а физика – это следующее равенство), эта величина должна равняться интегралу от плотности заряда по объёму сферы, по которой вычисляется поток (интеграл от плотности по объёму это есть полный заряд внутри сферы): , где   – заряд внутри сферы радиуса . И это утверждение верно для сферы любого радиуса. Отсюда вывод – при центральной симметрии напряжённость поля во всех точках сферы радиуса  равна:

,

где  - единичный вектор нормали к сфере. Эта формула, одна единственная, добивает все задачи центральной симметрии. Проблема одна – найти заряд, который находится внутри данной сферы, ну, это не очень тяжёлая проблема.

Можем немножко продолжить это дело. Вследствие того, что на любой сфере , интеграл по объёму можно свести, в принципе, к однократному интегралу, интегрируя по шаровым слоям, ну, напишу тут без подробных комментариев . Вот это  объём шарового слоя радиуса  толщиной . Почему я тут штрихи поставил, понятно.  стоит в верхнем пределе интеграла, ну тогда, чтоб не путать переменную интегрирования с верхним пределом, там я вместо  пишу . Значит, если вот эта функция  предъявлена, то такой интеграл вычисляется. Так, всё, с центральной симметрией конец. Второй случай.

Теорема Гаусса

На первый взгляд не очевидно, каким образом теорема Гаусса может помочь в определении напряженности поля E заданной системы зарядов. Действительно, неизвестная величина E стоит в (2.12) под знаком интеграла, т.е. в общем случае для ее нахождения нужно решать интегральное уравнение. Магнитное поле Курс лекций по физике Существуют, однако, некоторые специальные случаи, когда в силу соображений симметрии можно заранее указать направление вектора E в каждой точке пространства. Тогда для определения напряженности поля в некоторой точке P поступают следующим образом. Выбирают некоторую мысленную поверхность S, на которой лежит точка P, так, чтобы