Волновое уравнение и его решение

Вот чисто математическая проблема:

уравнение вида , где  – функция координат и времени,  и  константы, называется волновым уравнением.

Не будем решать уравнение в частных производных, а я сейчас предъявлю одно важное частное решение, и будет доказано, что оно действительно является решением.

Утверждение. Функция вида  удовлетворяет волновому уравнению (частное решение).

Частное решение, вообще-то, угадывается и проверяется методом тыка. Вот, мы сейчас подставим это решение в уравнение и проверим. Что уравнение утверждает? Что вторая производная по времени от этой функции совпадёт с пространственными производными.

Пишем: , .

Вот чем замечательна комплексная экспонента: можно было бы записать действительные синусы и косинусы, но дифференцировать экспоненты гораздо приятнее, чем синусы и косинусы.

Дальше: .

, значит, . Опять замечательная вещь: оператор  действует на функцию , эта функция просто умножается на , тогда немедленно находим повторное действие оператора: .

Подставим в исходное уравнение: , отсюда получаем .

Мораль такая: функция вида  удовлетворяет нашему уравнению, но только при таком условии:

.

Это факт математический. Нам остаётся сообразить теперь, что эта функция изображает.

Если перейти в действительную область, то есть взять сужение этого множества функций на класс действительных функций, это будет решение такого типа: . Чтобы не мучиться с тремя переменными, можно это дело упростить: пусть , тогда . Заметим, что это никакое не ограничение общности, ось х мы всегда можем выбрать вдоль вектора . Мы получили функцию от двух переменных: . А теперь будем смотреть, что эта функция представляет.

Делаем мгновенную фотографию: фиксируем момент времени  и смотрим пространственную конфигурацию.

Период синуса 2π, ясно, когда х меняется на λ – длину волны (пространственный период), то синус должен измениться на 2π, мы имеем такое соотношение: . Мы проинтерпретировали константу k – волновое число, а вектор – волновой вектор. Эта мгновенная фотография показывает, как функция зависит от пространства.

Теперь будем следить за временным изменением, то есть сидим в точке х и смотрим, что делается с функцией  со временем. Фиксируем , тогда , значит, в фиксированной точке опять синусоидальная функция времени. Мы имеем, поскольку период синуса 2π, , то есть мы проинтерпретировали константу ,  называется частотой.

И остаётся, наконец, последнее: запустить обе переменные λ и t, что тогда эта функция будет изображать? Тоже легко понять.

Функция, которую мы получили – это синусоидальная волна, бегущая вправо вдоль оси х.

Если мы запустим х и t одновременно, то окажется, что эта синусоида бежит вдоль оси со скоростью , вот такое решение мы получили, ну и тогда понятно, почему это называется волной.

Вот то, что я говорил, что, если мы будем бежать с такой скоростью, мы будем видеть одно и то же значение функции, наглядно: 

волны на воде. Для волны на воде – это отклонение волны от горизонтального уровня. Когда вы будете бежать вдоль этой волны со скоростью её распространения, то вы всё время будете видеть перед собой одну и ту же высоту над поверхностью воды.

Другой пример – звуковая волна.

Имеем синусоидальную звуковую волну. Как её создать? Источник колеблется с одной частотой (такой гул на одной частоте мы редко воспринимаем, он, кстати, очень раздражает). Если идёт такая волна определённой тональности, то, когда вы стоите, у вас в ухе давление со временем меняется и создаёт силу, которая давит на перепонку в ухе, колебания перепонки передаются в мозги, с помощью там разных передаточных устройств, и мы будем слышать звук. А что будет, если вы будете бежать вдоль волны со скоростью её распространения? Будет постоянное давление на перепонку и всё, не будет никакого звука. Правда, пример гипотетический, потому что, если в воздухе бежать со скоростью звука, то у вас будет так свистеть в ушах, что вам не будет не до восприятия этой струны.

Волна бежит со скоростью , но у нас такое соотношение: . Мы видим, что скорость – это та константа, которая стоит в уравнении. 

Решением волнового уравнения является синусоидальная волна, бегущая со скоростью с. 

А теперь вернёмся к уравнениям Максвелла. Мы там получили, что . Для магнитного поля аналогично. Такая функция  удовлетворяет этому уравнению. При условии, что . Значит, должны быть электромагнитные волны, распространяющиеся с такой скоростью . И вот тут уже круг замкнулся. Максвелл получил волновое уравнение и определил скорость волны, а к тому времени было известно экспериментальное значение скорости света, и обнаружилось, что эти скорости равны.

Ядерно - энергетическая проблема

Эра сжигания человечеством запасов органического топлива на Земле подходит к концу, ибо этих запасов остается все меньше. Нефти и газа хватит еще лет на сто, угля - лет на триста, а что дальше? Чем обогреваться следующим поколениям? А если продолжать сжигать во всевозрастающих масштабах органическое топливо, то как уберечь атмосферу от чрезмерного повышения в ней содержания углекислого газа, образующегося при сжигании органических топлив? Поток вектора магнитной индукции Магнитное полеВедь избыток углекислого газа в атмосфере приведет к опаснейшему парниковому эффекту, грозящему перегревом атмосферы Земли и глобальной климатической катастрофой, приближение которой мы ощущаем уже и сегодня. Эти вопросы всё больше волнуют людей и заставляют искать альтернативные источники энергии.
Какое-то время в качестве такового рассматривали ядерную энергетику. И уже успели построить сотни ядерных электростанций, "сжигающих" обогащенный уран вместо угля. При каждом акте деления ядра атома урана-235 выделяется 197 МэВ энергии в виде кинетической энергии разлетающихся осколков ядер (165 МэВ), быстрых нейтронов (5 МэВ), у-излучения (5 МэВ), ? -излучения (11 МэВ) и неуловимых нейтрино (11 МэВ) [17].