Сила, действующая на ограниченное распределение заряда во внешнем поле

Проблема такая: имеем поле, имеем какой-то заряд, размазанный по некоторой области, локализованный заряд. Нас интересует, какая сила будет действовать на заряженное тело, ну, или в конечном итоге, как оно будет двигаться, находясь во внешнем электрическом поле.

Вы должны, конечно, представлять, что, если это ограниченное распределение есть точечный заряд, то вы знаете, какая сила на него действует. Наша задача найти силу, действующую на произвольное распределение заряда.

Ну, в общем-то, понятно, как это можно сделать, надо разбить распределение на совокупность точечных зарядов, находить силы, действующие на каждый из этих зарядов, и суммировать потом все силы по всему распределению. Вот такая программа. Ну, как она реализуется, мы сейчас увидим.

На точечный заряд действует сила  , где , оказывается, потенциальной энергией заряда в электрическом поле (мы видели в механике, что, если сила представляется как градиент от некоторой скалярной функции, то эта функция интерпретируется как потенциальная энергия), при этом имеет место закон сохранения энергии , при этом заряд движется так: , это называется полной энергией (сумма кинетической и потенциальной энергии). Это для точечного заряда.

Потенциальная энергия ограниченного распределения заряда во внешнем поле.

Пусть имеется распределение заряда, разобьём заряд на малые элементы объёма dV, в этом элементе объёма заряд .  - это потенциальная энергия заряда в элементе объёма dV, энергия элементарного заряда. Тогда вся потенциальная энергия этого распределения будет равна .

Это точная формула. Теперь мы займёмся получением приближённой формулы.

Выберем некоторую точку внутри распределения, радиус-вектор этой точки будет , радиус-вектор  – это вектор, идущий из выбранной точки в этот элемент объёма, . Тогда потенциал в точке  – это 1). Пока написано разложение с точностью до первых производных, дальше там пойдут слагаемые со вторыми производными и так далее, это факт математический.

В основе этого вычисления лежит следующее предположение: будем считать, что потенциал мало меняется в пределах распределения, то есть распределение не слишком велико. Это означает, что второе слагаемое много меньше первого, то есть значение потенциала в некоторой точке внутри такое-то, а добавка к потенциалу, когда мы доходим до края распределения, мала, поэтому далее слагаемые мы выкидываем вообще. Подставим теперь это дело в формулу для потенциальной энергии: 2) .

Мы добыли вот такую симпатичную формулу: , где  – радиус-вектор, идущий в некоторую точку внутри распределения, это опять разложение по мультиполям.

Что это физически означает? Главный вклад в потенциальную энергию – полный заряд на значение потенциала где-то внутри распределения, поправочное слагаемое, учитывающее дипольный момент распределения (дипольный момент характеризует как там размещены друг относительно друга отрицательные и положительные заряды), и др. характеристики, учитывающие моменты более высоких порядков.

Чтобы дальше эта буква  не вводила в заблуждение, перепишем результат так: .

А теперь мы можем найти силу (сила – это градиент потенциальной энергии), пишем:  . И окончательно получим такой результат:

Основная задача электростатики

Задача заключается в определении функции j(x,y,z), которая удовлетворяет уравнению (4.3), а также определенным граничным условиям. Магнитная постоянная Магнитное поле Граничные условия - это значения j(x,y,z) во всех точках поверхности, охватывающей область, в которой определена функция j. При этом на поверхности, удаленной в бесконечность, потенциал j принимается равным нулю. На проводящих поверхностях могут быть заданы потенциалы каждого проводника или величина полного заряда на каждом проводнике. Объемные заряды предполагаются отсутствующими, ибо заряды проводников сосредоточены на их поверхности.