Обратные отображения.
Определение. Пусть 
. Если существует отображение 
такое, что 
и 
, то отображение j
называется обратным к отображению ¦,
а отображение ¦ в этом случае называется
обратимым.
Понятно, что в условиях определения обратным к j является ¦.
Обозначение: 
.
Теорема 4 (критерий обратимости отображения).
Отображение 
обратимо тогда и только тогда, когда оно биективно.
Доказательство. Необходимость. Пусть отображение 
биективно. Так как оно сюръективно, то "
есть хотя бы один прообраз из Х. Но
в силу инъективности все элементы имеют разные образы. Поэтому y0 имеет единственный
прообраз х0. Сопоставив каждому элементу y из Y его единственный прообраз,
получим отображение 
такое, что если 
, то 
. При этом получим "хÎХ 
, т.е. 
; "
, т.е. 
.
Достаточность. Пусть отображение 
- обратимое и 
-- обратное к ¦.
Пусть 
. Применим к данному
равенству отображение j: 
. Таким образом, ¦ -- инъективно.
Пусть . Найдём прообраз х0, такой, что
. Имеем:
,
где 
. Тем
самым, ¦ -- сюръективно.
Следствие. Если ¦ -- биективно, то и ¦-1 также биективно.