Произведение (композиция) отображений.
Пусть ¦: Х®Y,
и пусть хÎХ.
Отображение ¦ переводит х в некоторый
элемент 
. При этом элемент
y под действием отображения g переходит в некоторый элемент z из Z. Таким
образом, в результате последовательного выполнения сначала ¦ а потом g, каждый элемент хÎХ отображается в элемент 
и мы получаем отображение 
.
Определение 7. Произведением отображений ¦:Х®Y
и 
называется отображение 
определяемое равенством 
.
Например, пусть 
, 
. Тогда 
.
Отметим, что не всегда gf и fg определены одновременно.
Для этого необходимо, чтобы 
. В частности, если 
, 
, то gf и fg определены. Но даже в этом случае равенство
fg = gf, вообще говоря, не выполняется (это видно из рассмотренного примера),
Таким образом, умножение отображений не коммутативно. Однако оно ассоциативно.
Теорема 1. Если ¦:Х®Y, 
, 
, то h(gf) и (hg)f определены и равны.
Доказательство. Так как gf:X®Z,
то h(gf):X®U. Аналогично, hg:Y®U, поэтому (hg)f:X®U. Покажем, что "
хÎХ 
. Пусть 
. Имеем: 
. Поэтому согласно определению произведения отображений
и
.
Определение 8. Отображение 
называется тождественным, или единичным, если
, " хÎХ.
Обозначения: eX , 1X, idX.
Теорема 2. Если 
, то 
и 
.
Следствие. Если 
, то 
.
Теорема 3. Пусть ¦:Х®Y, 
. Если ¦
и g инъективны, то fg -- инъективно. Если ¦
и g сюръективны, то fg – сюръективно.
Доказательство.
Имеем
. Пусть
, т.е. 
Пусть f, g – сюръективны и 
. Так как g – сюръективно, то $ 
. А так как ¦ --
сюръективно, то $ 
. Таким образом, 
.
Следствие. Произведение биективных отображений – биективно.