Элементы теории множеств Курс лекций

Отображения множеств Основные понятия.

Пусть X и Y – непустые множества. Если каждому элементу хÎХ ставится в соответствие единственный элемент yÎY, то говорят, что задано отображение множества Х во множество Y.

 Часто не делают различий между понятием “отображение” и “функция”, однако функциями чаще всего называют отображения числовых множеств.

 Если ¦ - отображение множества Х в Y, то пишут: ¦:Х®Y или ХY.

Элемент yÎY, который ставится в соответствие элементу хÎХ при отображении ¦:Х®Y, называется образом элемента х при отображении ¦. При этом пишут: y = f(x) или ¦:х ay. Элемент х в свою очередь называется прообразом y при отображении ¦.

Определение 1. Два отображения ¦:Х®Y и g:X®Y называются равными, если  для любого хÎХ.

 Определение 2. Пусть задано отображение ¦:Х®Y и . Образом множества А при отображении ¦ называется совокупность образов всех элементов множества А. Образ A обозначается: ¦(А).

 Итак, . Ясно, что .

 Определение 3. Пусть ¦:Х®Y и . Отображение, которое каждому элементу хÎА, рассматриваемому как элемент из Х, ставит в соответствие , называется сужением отображения ¦ на А и обозначается .

 Таким образом, , причём  "хÎА. Обратно, при выполнении этих условий  ¦:Х®Y является продолжением отображения.

 В случае, если Х и Y – конечные множества, то отображение ¦:Х®Y может быть задано таблицей соответствий, состоящей из двух строк.

 Например, для ,  запись  означает, что , , .

 Упражнение: Выпишите все различные отображения ¦:Х®Y в указанном примере и определите их количество. Найдите количество различных отображений ¦:Х®Y, если | X | = n, а |Y | = m.

 Важным примером таких отображений служат подстановки из n элементов:

 , где .

 Другие примеры отображений:

поворот плоскости вокруг начала координат на угол a;

проецирование 3-мерного пространства на координатную плоскость xОy;

¦:R®R, ¦(x) = sin x.

 Определение 4. Отображение ¦:Х®Y называется инъективным (взаимно однозначным), если различным элементам множества Х соответствуют различные образы из Y, т.е., если .

Легко видеть, что это условие равносильно следующему: 

.

Например, подстановки, повороты плоскости – взаимно однозначные отображения; проецирование  – не взаимно однозначное. Отображение , где -- не взаимно однозначное, но , где  -- взаимно однозначное.

 Определение 5. Отображение ¦:Х®Y называется сюръективным, если каждый элемент yÎY является образом для некоторого элемента хÎX, т.е. если каждый элемент yÎY имеет хотя бы один прообраз.

Понятно, что ¦:Х®Y – сюръективно тогда и только тогда, когда .

Например, подстановки, поворот на угол a, проецирование – сюръективны. Отображение , где  -- не сюръективно, но  -- сюръективно.

 Определение 6. Отображение ¦:Х®Y называется биективным, если оно одновременно и инъективно и сюръективно.

 Примеры. Подстановки; поворот на угол a;  ;  --- биективные отображения.

Объём цилиндрического тела Примеры решения и оформления задач контрольной работы