Декартово произведение множеств.
Пусть имеется два множества A и B (не обязательно 
).
Определение. Декартовым (или прямым) произведением множеств
A и B называется множество всех упорядоченных пар вида (a, b), где первый
элемент 
, а второй — 
:
Множества A и B предполагаются непустыми. В противном случае,
если 
или 
, то 
.
Если, например, 
, 
, то:
Вообще говоря, 
, за исключением случая, когда 
. Тогда произведение 
называется декартовым квадратом множества A
и обозначается: 
. Если 
-- множество действительных чисел, то 
можно рассматривать, как координатную
плоскость, отождествив пару (a, b) с точкой, имеющей координаты 
и y = b.
В частности, если имеются отрезки 
, 
, то 
представляет собой прямоугольник на координатной плоскости
xОy.
Всякая кривая Г на плоскости может быть истолкована как подмножество
R2, определяемое некоторым условием (уравнением): 
.
Аналогично определяется декартовое произведение любого количества непустых множеств.
Именно, пусть заданы множества A1, A2, …, An. Тогда n-кой
(кортежем) называется упорядоченный набор (a1, a2, …, an), такой что 
. Множество всех таких n-ок называется
декартовым произведением множеств A1, A2, …, An и обозначается 
. В частности, если все 
, то 
называется n-ой декартовой степенью множества
A.
Замечание. Вообще говоря, 
. Действительно, 
следует рассматривать как множество матриц 
, а 
— кортежи, не учитывающие матричной структуры.
Таким образом, уже из данного примера следует, что ассоциативный закон для
декартового произведения множеств не выполняется.
Но дистрибутивные законы относительно È, Ç и \ имеют место:
В любом случае, операция “
” существенно отличается от предшествующих операций на
множествах в том плане, что декартово произведение множеств из данного универсального
множества U уже не принадлежит U.