Свойства операций над множествами. Алгебра множеств.
Операции È
и Ç обладают свойствами, аналогичными сумме
и произведению чисел. В связи с этим их зачастую также называют суммой и произведением
множеств и обозначают соответственно 
, 
вместо 
и 
. Действительно, для любых множеств A, B и C справедливы
следующие равенства:
|
1) |
|
|
Закон двойного дополнения |
|
2) |
|
} |
Законы коммутативности |
|
3) |
|
||
|
4) |
|
} |
Законы ассоциативности |
|
5) |
|
||
|
6) |
|
} |
Законы дистрибутивности |
|
7) |
|
||
|
8) |
|
} |
Законы де Моргана |
|
9) |
|
||
|
10) |
|
} |
Законы идемпотентности |
|
11) |
|
||
|
12) |
|
} |
Законы универсального множества |
|
13) |
|
||
|
14) |
|
} |
Законы пустого множества |
|
15) |
|
||
|
16) |
|
} |
Законы поглощения |
|
17) |
|
В справедливости этих законов легко убедиться с помощью диаграмм Эйлера-Венна, изобразив отдельно множества, соответствующие левой и правой части равенства, и проверив, что они совпадают.
 |
Например, для иллюстрации закона 7) имеем:
 |
|
заштриховано |
заштриховано дважды |
Строгое доказательство всех равенств основано на проверке включений Í и Ê. Например, для доказательства закона 9) нужно проверить:
9а) 
9б) 
Доказательство 9а). Пусть 
. Тогда 
. Значит, 
и 
, то есть 
и 
, и поэтому 
.
Доказательство 9б). Пусть 
. Тогда 
и 
. Следовательно, 
и 
. Поэтому 
и, значит, 
.
Определение. Совокупность 
всех подмножеств универсального множества U (такая совокупность
называется булеаном множества U) вместе с операциями È, Ç,
и 
, обладающими вышеперечисленными
свойствами, называется булевой алгеброй множеств.
Заметим, что в результате операций È, Ç, и над любыми подмножествами из U также
получаются подмножества из U. В этом случае говорят, что указанные операции
замкнуты на U.
Можно показать, что множество соотношений 1) – 15) полно
в том смысле, что любое правильное равенство, образованное при помощи символов
Æ, U, È,
Ç, , букв латинского алфавита, обозначающих множества, и скобок,
указывающих порядок выполнения операций, вытекает из свойств 1) – 15).