Лемма. Пустое множество единственно.
Доказательство. Действительно, если Æ1, Æ2 — два
пустых множества, то согласно вышеотмеченному свойству пустого множества (быть
подмножеством любого множества) имеем: 
и 
, откуда 
.
Способы задания множеств.
Множество считается заданным, если о каждом элементе можно однозначно сказать, принадлежит он этому множеству или нет.
а) Простейший способ задания множества состоит просто в перечислении всех элементов данного множества.
Если множество A конечное, состоящее из элементов a1, a2, …, an, то пишут A = {a1, a2, …, an} . В частности, {a} — множество, состоящее из одного элемента a.
Но такой способ задания применим, разумеется, лишь к конечным множествам.
б) Другой, универсальный способ: задание множества A с помощью характеристического свойства элементов данного множества, то есть такого свойства, которым обладают все элементы множества A и не обладают другие элементы, не принадлежащие A.
Если P(x) — такое свойство, то пишут: 
.
Например, для конечного множества A = {a1, a2,…, an} можно записать: A = {x | x = a1, или x = a2, или …, или x = an}. Множество всех депутатов парламента можно задать тьак: D = {x | x — депутат}. Множество всех студентов S = { x | x — студент}.
в) Еще один способ — это задание множества с помощью порождающей процедуры, или алгоритмический способ.
Например, пусть M = {1, 2, 4, 8, 16,…} — множество степеней числа 2. Тогда его можно задать так:
1) 
; 2) если 
, то 
.
Другой пример: множество Мp = {314, 159, 256, 358, …} задается как последовательность троек подряд идущих цифр десятилетней записи числа p = 3,141592653589793238462… . (В действительности, учитывая трансцендентность числа p, множество Мp содержит все целые числа от 0 до 999.)
г) Четвертый способ — задание множеств с помощью операций над уже известными множествами.
К описанию свойств, задающих множество, естественно предъявить требования точности и недвусмысленности. Например, множество хороших фильмов 1999г. разные люди зададут разными списками. Даже сами критерии отбора фильмов могут оказаться различными.
Надежный способ точного описания множества — распознающая (разрешающая) процедура. Например, для множества степеней двойки М2n разрешающей процедурой может служить разложение числа на простые множители.
Задание множества М4 нельзя отнести ни к одному из перечисленных способов; оно по сути совсем не задано, а только названо. Задать его можно списком футболистов, или описанием: М4 есть множество лиц, имеющих удостоверение футболиста клуба «Динамо-Минск». В этом случае разрешающая процедура — это проверка документов.