Элементы теории множеств Курс лекций

Отношения на конечных множествах могут быть заданы непосредственным перечислением всех пар элементов, находящихся в данном отношении.

Например, рассмотрим отношение делимости ( aRb, если a, т.е. a делится на b) на множестве  А={1; 2; 3; 4; 5; 6}. Тогда R= { (1,1); (2,1); (2,2); (3,1); (3,3); (4,1); (4,2); (4,4); (5,1); (5,5); (6,1); (6,2); (6,3); (6,6) }.

Это же отношение можно задать с помощью матрицы отношения.

Матрицей бинарного отношения , где | А | = n, | B | = m, называется бинарная (n´m)-матрица  M = (mij), в которой mij =1, если aiRbj; и mij = 0, в противном случае. Здесь мы считаем, что элементы множеств А и В предварительно пронумерованы и, таким образом , каждому элементу множества А соответствует строка матрицы, а каждому элементу В – столбец.

Для рассматриваемого отношения делимости получаем следующую матрицу: отношение  на том же множестве А имеет нижнюю треугольную матрицу (выше диагонали все элементы – нули, а на диагонали и ниже – все элементы равны 1).

Отношение , такое, что = { (a,a) | aR} (по сути это отношение равенства) называется единичным. Оно имеет единичную матрицу.

Еще один способ задания отношений – графы отношений.

Отношение  можно представить в виде рисунка, на котором элементам А и В соответствуют точки (вершины графа), при этом если aRb, то вершины a и b соеденены линией (ребром) со стрелкой в направлении от a до b (см. рис. справа).

Если В = А, то на графе соответствующего отношения изображаются только вершины, соответствующие одному множеству А, и соединяются ребрами по тем же правилам.

 

Отношение делимости на множестве А = { 1; 2; 3; 4; 5; 6; } имеет следующий граф, изображенный на рисунке справа.

Аналогично определяются n-арные отношения на множествах А1, А2, …, Аn , как всякие подмножества А1А2 … Аn . При этом если все Ai = А, то соответствующее отношение n называется n-местным отношением на А.

 

 

графически в виде соответствующего множества точек на координатной плоскости.

Примеры.

1) Трехместное отношение на R быть сторонами треугольника: (a, b, c)R, если существует треугольник со сторонами a, b, c.

2) Четырехместное отношение на N: (a, b, c, d), если  = .

Объём цилиндрического тела Примеры решения и оформления задач контрольной работы