Множества и операции над ними. Основные понятия.
Понятие множества, как и некоторые другие исходные понятия в математике, не определяется. Ему дается описание, которое иллюстрируется примерами.
Под множеством в математике понимается любая совокупность каких-либо объектов. При этом сами объекты, составляющие множество, называются элементами множества. Например, можно говорить о множестве яблок в мешке, множестве натуральных чисел, множестве геометрических фигур на плоскости и т. д. Как правило, множество объединяет однотипные элементы (яблоки, числа и т.д.). Но это – не обязательно. Можно рассматривать множества, состоящие из разнородных элементов.
Обычно множества обозначают заглавными латинскими буквами (A, B, C, …), а их элементы -- прописными (a, b, c, …).
Если A -- множество, а a -- его элемент, то пишут: 
.
Если b не является элементом множества B, то пишут: 
.
Примеры.
М1 — множество действительных чисел R.
М2 — множество решений уравнения
.
М3 — множество чисел вида 
, где 
(Z - множество целых чисел).
М4 — футбольная команда «Динамо-Минск» (т.е., множество футболистов этой команды).
М5 — множество всех футбольных команд высшей лиги.
М6 — множество русских слов из словаря В. И. Даля.
М7 — множество равносторонних треугольников.
М8 — множество равноугольных треугольников.
Множество B называется подмножеством множества A, если всякий
элемент множества B принадлежит множеству A. В этом случае пишут: 
.
Множества A и B называются равными, если их элементы совпадают.
Легко видеть, что равенство множеств 
имеет место тогда и только тогда, когда
и 
. Именно в проверке последних двух условий заключается
основной способ доказательства равенства двух множеств.
Примеры: М2 = М3; М7 = М8.
Если , но
, то B называется собственным
подмножеством множества A, и это записывается: 
.
Множества могут быть конечными и бесконечными. Число элементов
конечного множества A называется его мощностью и обозначается 
.
Множество мощности 0, т.е. не содержащее никаких элементов, называется пустым множеством и обозначается: Æ. Принято считать, что пустое множество является подмножеством любого множества A, поскольку невозможно указать ни одного элемента Æ, который бы не принадлежал множеству A. Нетрудно видеть, что справедлива