Начертательная геометрия Поверхности вращения Аксонометрические проекции Методы преобразования комплексного чертежа Обобщенные позиционные задачи Способы сечений

Основные разделы курса Начертательная геометрия

Аксонометрические проекции

Общие сведения

Во многих случаях при выполнении технических чертежей оказывается необходимым наряду с комплексным чертежом оригинала давать более наглядное изображение, обладающее свойством обратимости.

С этой целью применяют чертеж, состоящий только из одной параллельной проекции данного оригинала, дополненный проекцией пространственной системы координат, к которой предварительно отнесен изображаемый оригинал. Такой чертеж называется аксонометрическим или аксонометрией. Слово аксонометрия означает «измерение по осям».

Рассмотрим построение аксонометрической проекции. Выберем какую - нибудь плоскость проекций Р и спроецируем на нее по направлению S заданную точку А вместе с осями прямоугольных (натуральных) координат, к которым она отнесена в пространстве (рис 9.1 ). Плоскость Р называют тоскостъю аксонометрических проекций (эту плоскость называют также картинной плоскостью).

Проекция А' называется аксонометрической проекцией точки А, а точка А¢1 - вторичной проекцией точки А, В дальнейшем аксонометрическую проекцию A/ условимся обозначать так же, как ' в пространстве, буквой А.

111

Проекция O¢A¢xA¢1A¢ называется аксонометрической координатной ломаной..

Отрезки О¢ Ax¢, Ax¢ А1¢¢ и А ¢¢ , соответственно параллельные осям х¢, у¢ и z¢ - аксонометрическими отрезками координат.

Проекция O'x'y'z называется аксонометрической системой координат. Она состоит из аксонометрических осей х¢, у¢, z¢, пересекающихся в точке О', называемой аксонометрическим началом координат.

Проекции х,¢ у¢, z¢ осей х, у и z называются аксонометрическими осями координат.

Проекции е'я e'y, ё'г натурального масштаба е называются аксонометри ческими масштабами.

9.2. Показатели искажения

Отношения аксонометрических координат к натуральным (при одной и той же натуральной единице е) называются показателями искажения по ослы.

Обозначим через и показатель искажения по оси х, через v - показатель искажения по оси .у, через w - показатель искажения по оси г, тогда

;

Если все три показателя искажения по осям равны между собой:

и = v = w, то аксонометрическая проекция называется изометрией.

Если два показателя искажения равны между собой и отличаются от третьего показателя, то аксонометрическая проекция называется диметрией. При этом и = v ¹ w, или v = w¹ и, или w = и ¹ v.

Если все три показателя искажения по осям различны; u¹v; v¹w, w¹u, то аксонометрическая проекция называется триметрией.

В зависимости от наклона изображаемого предмета к плоскости аксонометрических проекций и угла, образуемого проецирующими лучами с аксонометрической плоскостью, получают аксонометрические проекции различного типа. Если проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости аксонометрических проекций, проекции называют прямоугольными; если проецирующие лучи не перпендикулярны к плоскости аксонометрических проекций, проекции называют косоугольными.

Все виды аксонометрических проекций обладают следующими свойствами:

113

- любому чертежу в аксонометрических проекциях должен предшествовать чертеж выполненный в ортогональных проекциях;

- ось г проецируется всегда вертикально;

- все измерения делаются только по осям или параллельно

осям;

- все прямые линии, параллельные между собой или

параллельные осям симметрии на ортогональном чертеже, остаются параллельными в аксонометрии.

9.3. Стандартные аксонометрические проекции

Для единого правила выполнения аксонометрических изображений разработан ГОСТ 2,317-69.

К числу стандартных прямоугольных аксонометрических проекций относятся изометрическая проекция (\ рис 9;2а ,);

диметрическая проекция ( рис 9.26 ).

К числу стандартных косоугольных аксонометрических проекций относятся фронтальная изометрическая проекция ( рис 9.2в );

горизонтальная изометрическая проекция ( рис 9.2г ); фронтальная диметрическая проекция ( рис 9.2 , д).

9.3.1. Прямоугольная изометрическая проекция

Она образуется, когда оси координат одинаково наклонены к картинной плоскости Р (рис 9.1). Следовательно, аксонометричес- кие оси в прямоугольной изометрии образуют между собой углы по 120° (рис.9.3).

Зная основную формулу прямоугольной аксонометрии и2 + v2 + w2 = 2 и равенство коэффициентов искажения изометрической проекции и = v = w, можно определить коэффициенты искажения:

3u2=2; u=»0,82; u=v=w=0,82

 Следовательно, при построении прямоугольной изометрической проекции натуральные размеры вдоль координатных осей сокращаются в » 0,82 раза.

На практике коэффициенты искажения принимают равными единице. В этом случае изображение предмета получается

увеличенным, при этом коэффициент приведения =1,22

 Действительные коэффициенты искажения называют точными, а увеличенные - приведенными и обозначают их, в отличие от точных, прописными буквами: U = V = W = 1. На рис 9.4 показано построение изометрических осей без измерения углов транспортиром. Первый способ (рис 9.4.а) основан на делении окружности на шесть равных частей. Выбрав на оси z¢ точку О¢, проводим дугу произвольного радиуса; она пересечет ось z' в точке А, Из этой точки тем же радиусом проводим вторую дугу. Точки В пересечения дут используем для проведения осей x¢ и у¢.

На Рис(9,4,б) показан второй способ построения изометрических осей. Наклон оси в 30° получается при соотношении длин отрезков 3:5 (например, 3 и 5 клеток).

а) Рис.9.4. б)

9.3.2. Прямоугольная диметрическая проекция

Наиболее простую и распространенную диметрию получают,

если и = w и v = Вычислим показатели искажения. Из

соотношения u2 + v2 + w2 = 2 имеем u2 +  + u2 = 2, откуда и = »0,94, тогда w = 0,94; v =»0,47.

В практике применяют приведенные коэффициенты искажения U == W = 1 и V = 0,5, При этом коэффициент приведения »1,06 Таким образом, изображение предмета получается увеличенным в 1,06 раза.

Расположение аксонометрических осей в диметрической проекции показано на рис 9.5, Оси х'у¢ встроят по тангенсам углов. Так tg 7010¢=; tg41025¢=

Продолжение оси у' за центр О¢ является биссектрисой угла X¢O¢Z¢, что также может быть использовано для построения оси у¢'

9.3.3. Косоугольные аксонометрические проекции

ГОСТ 2.317 - 69 рекомендует использовать косоугольную диметрию. В практике черчения наиболее часто используется такая косоугольная диметрия, у которой коэффициент искажения по оси у' принимается равным 0,5, а угол, составленный этой осью с другими осями - 135° (рис 9.2 д). Согласно ГОСТ 2,317 - 69, такую аксонометрическую проекцию называют фронтальной биометрической проекцией (в литературе ее иногда называют кабинетной).

Косоугольная фронтальная диметрическая проекция предпочтительна в тех случаях, когда окружности лежат в плоскостях, параллельных плоскости V,

ГОСТ 2.317 - 69 также рекомендует использовать и другую косоугольную проекцию - фронтальную изометрическую проекцию. В литературе ее иногда называют кавальерной перспективой (рис 9.2в,). Фронтальную изометрическую проекцию выполняют без искажения по осям х¢ у¢z¢

В практике черчения ГОСТ 2,317 - 69 разрешает использовать и еще одну косоугольную проекцию - горизонтальную изометрическую проекцию (в литературе иногда такую проекцию называют зенитной изометриеи). Горизонтальную изометрическую проекцию выполняют без искажения по осям х', у', z' (рис 9.2 , г).

9.4. Аксонометрические проекции окружности

Окружность в аксонометрической проекции представляет собой эллипс, Построение эллипса сравнительно сложно, поэтому его заменяют овалом. Овал - это кривая, по очертанию похожая на эллипс, но строится при помощи циркуля.

Окружность в прямоугольной изометрии Окружности, вписанные в грани куба, проецируются в эллипсы, В прямоугольной изометрии все три эллипса одинаковы по форме, равны друг другу, но расположены различно

Машинная графика Одно из замечательных достижений человеческого гения в последние десятилетия -быстрое развитие электроники и вычислительной техники.

Проекции точки. Метод проецирования. Для построения изображения предметов на плоскости пользуютсь методом проецирования. Слово «проекция» - латинское, от глагола projecere, что в переводе означает «бросать вперед».

Проецирование точки на две плоскости проекций. Четверти пространства Две взаимно перпендикулярные плоскости проекций П1 – горизонтальная плоскость проекций, П2 – фронтальная плоскость проекций делят пространство на четыре квадранта (четверти)

Проекции точки на три плоскости проекций. Октанты пространства В начертательной геометрии принято от пространственного изображения точки и ее проекций переходить к плоскому, или комплексному, чертежу, образованному вращением плоскости проекций вокруг осей проекций

Точки проекций общего и частного положения. Наиболее удобной для фиксирования положения геометрической фигуры в пространстве является декартова система координат, состоящая из трех взаимно перпендикулярных плоскостей

Проекции прямой Проецирование прямой на три плоскости проекции. Прямую можно рассматривать как результат пересечения двух плоскостей

Положение прямой относительно плоскости проекций. На рис 1.5. изображен параллелепипед со срезанной вершиной и произвольная треугольная пирамида. Ребра параллелепипеда и пирамиды занимают различные положения в пространстве относительно плоскостей проекций. Чтобы строить и читать чертежи, нужно уметь анализировать положения прямой. По своему положению в пространстве прямые распределяются на прямые частного и прямые общего положения.

Определение натуральной величины отрезка Если отрезок прямой занимает общее положение, то ни на одной основной плоскости проекций нельзя определить его истинную длину

Пересекающие прямые. Если две прямые в пространстве пересекаются, то их одноименные проекции также пересекаются в точках К1 иК2, лежащих на общей линии связи.

Проекции плоскости Способы задания плоскости на эпюре Из курса элементарной геометрии известно, что через три точки не лежащие на одной прямой можно провести плоскость и при том только одну.

Принадлежность прямой и точки заданной плоскости Прямая принадлежит плоскости, если две её точки принадлежат этой плоскости

Главные линии плоскости В плоскости можно расположить бесчисленное количество прямых, среди которых будут линии уровня плоскости, т.е. прямые, параллельные плоскостям проекций, и прямые, перпендикулярные к этим линиям уровня, так называемые линии наибольшего уклона плоскости. Такие прямые называются главными (или особыми) линиями плоскости. К первым относятся горизонтальные линии плоскости (горизонтали плоскости), а также фронтальные и профильные (фронтали плоскости, профильные прямые плоскости).

Методы начертательной геометрии и инженерной графики необходимы для создания машин, приборов и комплексов, отвечающих современным требованиям точности, эффективности, надежности, экономичности.
Основные разделы курса Начертательная геометрия