Лабораторные работы по электротехнике (ТОЭ) Методы расчета электрических цепей Переходные процессы Примеры решения задач по электротехнике

Лабораторные работы по электротехнике (ТОЭ)

Примеры для совместного решения со студентами типовых задач

Пример 3.1.

Рассчитать все токи в цепи и напряжение на конденсаторе после замыкания ключа (рис. 10), если U0 = 30 В; r = 100 Ом; С = 100 мкФ.

Решение

Система  уравнений, составленных по законам Кирхгофа для цепи после коммутации, имеет вид:

Сводим систему к одному уравнению.
За неизвестную величину примем напряжение , так как напряжение на ёмкости подчиняется закону коммутации

Учитывая, что , получим дифференциальное уравнение с одним неизвестным:

.

Характеристическое уравнение имеет вид:

.  (2)

Его корень  с-1.

Решение дифференциального уравнения имеет вид:

.

Из приведенного примера видно, что составление дифференциальных уравнений – процесс трудоемкий, поэтому решение дифференциального уравнения можно записывать сразу, без составления самого уравнения, в виде суммы принужденной и свободной составляющих. Вид свободной составляющей определим по виду корней характеристического уравнения. Найдем корни характеристического уравнения, используя метод входного сопротивления (см. подразд. 2.3, практическое занятие № 2).

Запишем входное сопротивление цепи после коммутации. Для этого закоротим источник эдс и разомкнем ветвь, содержащую сопротивление r,

.

Приведем дробь к общему знаменателю:

.

Приравняем Z(р) к нулю (). Дробь равна нулю, когда числитель дроби будет равен нулю:

r(2rpC + 3) = 0 или 2rpC + 3 = 0.

Получим характеристическое уравнение, аналогичное уравнению (2). Его корень

 с-1.

Так, корень характеристического уравнения – один, он является действительным числом, следовательно, напряжение на конденсаторе будет изменяться по закону:

.  (3)

Принуждённое значение напряжения на ёмкости равно напряжению на резисторе 2r:

 В.

Постоянную интегрирования А найдем из уравнения (3), записанного для t = 0:

, так как согласно законам коммутации , то ; 30 = 20 + A; A = 10 B.

Напряжение на конденсаторе uC(t), В,

.

Ток i3(t), А, через конденсатор:

.

Ток , А, можно найти по закону Ома:

.

Ток в неразветвлённой части цепи i1(t), А, определим по первому закону Кирхгофа:

.

Пример 3.2.

В электрической цепи, схема которой приведена на рис. 11, замыкается ключ. Требуется определить токи в ветвях и напряжение на индуктивности, если параметры элементов цепи имеют следующие значения: Е = 30 В,
r1 = r2 = r3 = 10 Ом, L = 0,1 Гн.

  Подпись: Рис. 11. Расчетная схема примера 3.2

Решение

Составим систему уравнений по законам Кирхгофа для схемы, полученной после коммутации

Выполнив взаимные подстановки и учитывая, что , получим дифференциальное уравнение для тока в индуктивности

.

После подстановки в это уравнение значений параметров элементов, получим

.

Решение этого неоднородного дифференциального уравнения состоит из двух частей , где принужденная составляющая тока определяется в установившемся режиме после коммутации и равна

 А.

Для определения свободной составляющей решим однородное дифференциальное уравнение

.

Решение этого уравнения имеет вид , так как характеристическое уравнение , откуда найдем  с-1. Модуль этой величины характеризует скорость уменьшения свободной составляющей тока и называется коэффициентом затухания. Величина, обратная коэффициенту затухания, имеет размерность времени и называется постоянной времени цепи  с.

Таким образом,

.   (4)

При определении постоянной интегрирования А воспользуемся законом коммутации, согласно которому . Для вычисления тока  рассмотрим схему (рис. 12).

На этой схеме индуктивность заменена проводником с нулевым сопротивлением, поэтому ток в ней рассчитаем по методу эквивалентного генератора, преобразуя ветви с источником напряжения Е и сопротивлениями  к эквивалентному генератору с параметрами  и . Эквивалентное сопротивление генератора rэкв найдем как входное сопротивление двухполюсника

,

 Ом.

Схемы для определения и  представлены на рис. 13 и 14.

E

 

r1

 

После определения и  ток в индуктивности до коммутации определяется (рис. 15) по формуле

 А.

Подставив найденное значение в уравнение для полного тока в индуктивности при t = 0, получим

 А.

Окончательное решение

  Рис. 15. Схема для опре-

 деления iL(0_)

 
.

Напряжение на индуктивности uL, В, определим по формуле

.

Токи в сопротивлениях, А, определим по формулам:

,

.


Курсовая и лабораторная работа по ТОЭ