Дифференциальное исчисление функций многих переменных Курс лекций

Неравенство треугольника

Неравенство Коши-Буняковского-Шварца

Подмножество метрического пространства с той же метрикой – метрическое пространство

Открытый шар – открытое множество, а замкнутый шар – замкнутое множество

Точка х – предельная множества ЕM, если .

Система множеств  покрывает Е, если .

n-мерный параллелепипед   – компакт.

Теорема Больцано-Вейерштрасса

Если предел последовательности an равен а, то ее подпослед

В нормированном прострастве .

Последовательность an точек метрического простраства – последовательность Коши

Терема о вложенных шарах Строительство атриумных зданий можно рассматривать как перспективное направление в развитии нового универсального типа общественно-административного здания.

Пример метрического простраства и последовательности замкнутых вложенных шаров в нем без общей точки

В нормированном пространстве , последовательность вложенных шаров с радиусами, не стремящимися к 0, имеет общую точку

Последовательность  – последовательность Коши   – последовательность Коши (последовательность в Rn – последовательность Коши  она последовательность Коши покоординатно).

Теорема Больцано-Вейерштрасса

Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны

Теорема об единственности предела

Функция f из метрического пространства M в нормированное пространство N – бесконечно малая при  по множеству EM, если .

Если f и g функции, отображающие из метрического пространства M в нормированное пространство N и  .

Теорема о критерии Коши

Непрерывность функции непрерывности по Коши

Определения непрерывности функции по Коши и по Гейне эквивалентны.

Функция f, отображающая из метрического пространства M в метрическое пространство N, непрерывна на ЕМ, если f определена на Е и непрерывна в  точке Е по Е.

Теорма Вейерштрасса

Теорема Кантора

Теорема сжимающих отображений

Множество Е в метрическом пространстве М несвязно два непересекающихся открытых множества в М, покрывающие Е, и каждое из которых пересекается с Е

Теорема Больцано-Коши

Отрезок – непрерывная кривая

Отображение L из линейного пространства N1 в линейное пространство N2 – если из существования L(a) следует, что для R(или С, если рассматривается линейное пространство над С) и из существования L(a) и L(b) следует существование L(a+b)=L(a)+L(b).

Если отображение f из нормированного пространства N1 в нормированное пространство N2 дифференцируемо в точке оно непрерывно в точке х0.

Функция f (из Rn в R), определенная в некоторой окрестности точки , дифференцируема в точке

Функция f (из Rn в R) имеет в точке  непрерывную частную производную (первого порядка) , если  определена в некоторой окрестности точки  и непрерывна в ней. определяемая ее поверхность имеет касательную плоскость в точке .

Если функция f дифференцируема в точке , то она имеет в этой точке производную по  направлению и .

Если функция f дифференцируема в точке , а , то по направлению  производная строго наибольшая, а по направлению  производная строго наименьшая. Эти производные равны соответственно  и .

Теорема дифференцирование сложной функции

Теорема Шварца

Теорема Юнга Если функция f (из Rn в R) имеет в точке  непрерывные частные производные ,то эти частные производные совпадают.

Теорема формула Тейлора с остат. членом в форме Лагранжа

Теорема формула Тейлора с остат. членом в интегральной форме

Если функция f имеет в точке  локальный экстремум, то  ее частная производная (если ), то равна 0.

Критерий Сильвестра

Теорема о неявных функциях

Метод множителей Лагранжа