Интегральное исчисление Курс лекций

Множества меры ноль по Лебегу

Определение 1

Множество ER – меры ноль по Лебегу, если для  >0  не более чем счетная система интервалов , где |li| – длина li.

Замечание

Если в Определение 1 вместо интервалов взять отрезки, то будет эквивалентное определение.

Доказательство Некоторые свойства интеграла ФНП Примеры решения и оформления задач контрольной работы

Если отрезок i покрывает Е и  .

Теорема 1

Подмножество множества меры ноль по Лебегу – множество меры ноль по Лебегу. Не более чем счетное объединение множеств меры ноль по лебегу – множество меры ноль по Лебегу.

Доказательство

Пусть Еi – множество меры ноль по Лебегу (j –натуральное). Возьмем  >0 и для  Еi найдем систему интервалов   система .

Пусть  – некоторая нумерация (по К) системы  .

Следствие 1

 не более чем счетное подмножество R имеет подмножество меры ноль по Лебегу.