Определение
Пусть задана функция 
и еще m функций 
(все из Rn в R). Функция f0 имеет условный локальный
максимум (минимум) в точке 
при условиях связи 
, если все fi и f0 определены в некоторой окрестности
точки и 
.
Метод множителей Лагранжа
– функция Лагранжа. Ищем критические точки этой функции, то есть точки 
, где 
и 
содержат вместе с некоторой 
все точки 
условных локальных экстремумов функции
f0.стоматолог|скачать покер bwin livescores
Теорема 2
Пусть 
точка условного локального экстремума (максимума или
минимума) функции при условиях связи . Все непрерывно дифференцируемы в точке . Тогда 
линейно зависимы в точке , то есть 
не все равные 0, такие что 
.
Доказательство
Предположим,
что 
линейно независимы. Покажем, что тогда точка
не может быть точкой условного локального экстремума.
Рассмотрим
– якобиан, имеет ранг m+1 минор ранга
m+1
отличный от 0 
j: дополнительный минор к 
не равен нулю. Считаем j=1. Пользуясь теоремой о неявных функциях определим xj,
j=2,…,m+1, как функции x1, чтобы 
при i=1,…,m. При этом xi(x1) непрерывно дифференцируемы в окрестности точки x0,
i=1,…,m+1 
Имеем, что 
– правый нижний минор отличен от 0, и, значит, определитель
не равен 0, так как
предполагали линейную независимость
в точке f0 не имеет условного локального экстремума
что и требовалось доказать.
Теорема 3
Пусть
точка условного локального экстремума функции
при условиях связи . Если все
непрерывно дифференцируемы в
окрестности точки и 
линейно независимы, то 
, т.е. 
.
Доказательство
не
все равные 0 и 
. В силу условия
теоремы 
.