Интегральное исчисление Курс лекций

Теорема 1

Пусть f определена на [a,b], FC[a,b] и F’(x)=f(x) для  x [a,b], кроме не более чем счетного множества (в точках которых F не существует или не равна f). Тогда f интегрируема на [a,b] в смысле Курцвейля-Хенстока и  – формула Ньютона-Лейбница.

Доказательство

Пусть – упомянутое не более чем счетное множество.

А) Если x=xn, то положим (x) таким, что  (для  >0) и . Функции комплексной переменной Примеры решения и оформления задач контрольной работы

В) Если хЕ, то положим (x) таким, что для  х, х<(x):  (в силу дифференцируемости F: ). Пусть (T,), – отмеченное разбиение [a,b], согласован. с (x) и ii для i, 1i  n. .

1) Если iE и i=хn(ai-ai-1)<2(i) и   и  .

2) Если iE  и .

Значит  и .

 

Следствие 1

Пусть f интегрируема на [a,b] в смысле Римана или Мак-Шейна или Курцвейлю-Хенстока, а F – неопределенный интеграл на [a,b] .

Следствие 2

Если F1 и F2 непрерывны на [a,b] и F1’= F2’ всюду на [a,b] кроме не более чем счетного множества точек  F1 - F2 постоянна на [a,b], .

Доказательство

Пусть f –  определенная на [a,b] функция, которая равна F1’ всюду на [a,b], кроме не более чем счетного числа точек. Имеем, что F1(х)–F2(х)= F1(а)–F2(а).

Замечание: отрезок [a,b] можно заменить промежутком.