Интегральное исчисление Курс лекций

Докажем теперь теорему для случая интегралов Мак-Шейна и Курцвейля-Хенстока.

Возьмем >0 и найдем такое 1(x)>0 на [a,b]: для  разбиений (T1,1) отрезка [a,b] с (i1i1 для К-Х) , где ; x>0 на [b,c]: для  разбиений (T2,2) отрезка [b,c] с (i2i2 для К-Х) , где .

Положим . Возьмем произвольное разбиение отрезка [а,c] (T,), согласованное с (x) (и ii). Точка b принадлежит отрезкам (двум или одному) i разбиения T и соответствующим этим отрезкам точки i совпадают с b (т.к. ).

1) b=ai – элементы разбиения . Пусть . Это отмеченное разбиение [a,b], согласованно с (x)1(x). Пусть . Это отмеченное разбиение [b,c], согласованно с (x)2(x). При этом   .

2) . Пусть  , отрезкам i, ij соответсвуют те же точки i, а отрезкам разбиения [ai-1,b] и [b, ai] будет соответствовать точка b. Так получим отмеченное разбиение , согласованное с (x) (для К-Х отмеченные точки  соответствующим им отрезкам). При этом . По случаю 1) имеем, что .