Дифференциальное исчисление функций многих переменных Курс лекций

Теорема Больцано-Коши

Непрерывная действительнозначная функция на связном подмножестве метрического пространства вместе с  двумя значениями принимает и все промежуточные.

Доказательство

Следует из Теоремы 2 и Теоремы 3.

Определение 1

Нерерывная кривая (кривая) в метрическом пространстве – это образ промежутка при его непрерывном отображении в метрическое пространство.

Теорема 5

Непрерывная кривая в метрическом пространстве – связное множество. Аналитическая геометрия

Доказательство

Следует из Теоремы 2 и Теоремы 3.

Определение 2

Множество Е в метрическом пространстве М – линейно связное, если  2 его точки можно соединить непрерывной кривой, принадлежащей этому множеству.

Теорема 6

Линейно связное множество – связно.

Доказательство

Предположим, что линейно связное множество Е несвязно   непрерывная действительнозначная функция  на Е, принимающая ровно 2 значения, то есть  x,yЕ: (х)=аb=(y). Найдем непрерывную кривую x,yГ, ГЕ   непрерывная действительнозначная функция на Г, принимающая ровно 2 значения  получаем противоретие из-за связности Е.

Определение 3

Отрезок в нормированном пространстве N с концами x и y – это множество  .