Теорема сжимающих отображений
Пусть f отображение полного метрического
пространства М в себя и 
(f сжимающее
отображение) 
(неподвижная точка) и она единственна.
Доказательство
Возьмем
произвольную точку 
Из-за сжимаемости, если 
По обобщенному неравенству треугольника 
. Последовательность xn – последовательность Коши
она сходится 
. Из-за непрерывности f 
f равномерно непрерывна на М) 
, но 
.
Если 
и 
– неподвижные точки 
.
Определение 2
Метрическое пространство М – связное, если его нельзя разбить на два непустых непересекающихся открытых множества, или, нельзя разбить на два непустых непересекающихся замкнутых множества, или, в М нет множеств одновременно открытых и замкнутых, кроме и М. Ролевые игры, классический секс и любые иные фантазии в подарок от проституток Питера. Недорого!
Метрическое пространство М – несвязное, если его можно разбить на два непустых непересекающихся открытых множества, или, можно разбить на два непустых непересекающихся замкнутых множества, или в М отличное от и М множество, одновременно открытое и замкнутое.
Определение 3
Множество Е в метрическом пространстве М – связное (несвязное), если оно связно (несвязно), как метрическое пространство с той же метрикой.
Теорема 7
Метричекое пространство М – несвязно на М непрерывная действительнозначная функция, принимающая ровно 2 значения.
Доказательство
1*)Докажем
необходимость. Пусть М несвязно, M=G1G2, G1G2=,
G1 и G2 непустые ограниченные множества. Пусть 
. Прообраз подмножества R – или G1 или
G2 или M=G1G2 непрерывна на М.
2*)
Докажем достаточность. Пусть непрерывная функция на М, принимающая ровно
2 значения – a и b. Положим 
. Пусть 
. Это непустые открытые непересекающиеся множества
что и требовалось доказать.