Дифференциальное исчисление функций многих переменных Курс лекций

Теорема сжимающих отображений

Пусть f отображение полного метрического пространства М в себя и  (f сжимающее отображение)  (неподвижная точка) и она единственна.

Доказательство

Возьмем произвольную точку   Из-за сжимаемости, если   По обобщенному неравенству треугольника   . Последовательность xn – последовательность Коши  она сходится . Из-за непрерывности f f равномерно непрерывна на М)  , но .

Если  и  – неподвижные точки  .

Определение 2

Метрическое пространство М – связное, если его нельзя разбить на два непустых непересекающихся открытых множества, или, нельзя разбить на два непустых непересекающихся замкнутых множества, или, в М нет множеств одновременно открытых и замкнутых, кроме  и М.

Метрическое пространство М – несвязное, если его можно разбить на два непустых непересекающихся открытых множества, или, можно разбить на два непустых непересекающихся замкнутых множества, или в М  отличное от  и М множество, одновременно открытое и замкнутое.

Определение 3

Множество Е в метрическом пространстве М – связное (несвязное), если оно связно (несвязно), как метрическое пространство с той же метрикой.

Теорема 7

Метричекое пространство М – несвязно  на М  непрерывная действительнозначная функция, принимающая ровно 2 значения.

Доказательство

1*)Докажем необходимость. Пусть М несвязно, M=G1G2, G1G2=, G1 и G2 непустые ограниченные множества. Пусть . Прообраз  подмножества R –  или G1 или G2 или M=G1G2   непрерывна на М.

2*) Докажем достаточность. Пусть  непрерывная функция на М, принимающая ровно 2 значения – a и b. Положим . Пусть . Это непустые открытые непересекающиеся множества  что и требовалось доказать.