Дифференциальное исчисление функций многих переменных Курс лекций

Теорма Вейерштрасса

Если f отображение из метрического пространства М в метрическое пространство N и f непрерывна на К – компакте в М  f(K) ограниченное множество в N.

Доказательство

Очевидным образом следует из Теоремы 2.

Теорма 4(Вейерштрасса)

Если f действительнозначная функция и f непрерывна на компакте К в метрическом пространстве М М  f ограничена на К и принимает на К наибольшее и наименьшее значение(К). chevrolet niva акпп|Бракоразводный процесс в суде невозможен без адвоката.

Доказательство

f(K) – ограниченное множество, непустое, если К. Пусть   , S и I не являются внешними f(K)  из-за замкнутости f(K) S и I принадлежат f(K).

Следствие 1

Если К – ограниченное замкнутое множество в Rn, а f непрерывная действительнозначная функция на К  f ограниченна на К и принимает наибольшее и наименьшее значения.

Определение 1

Функция f из метрического пространства М в метрическое пространство N равномерно непрерывна на ЕМ, если f определена на Е и  , или,  .