Интегральное исчисление Курс лекций

Теорема (аддитивность интеграла по отрезку)

Если f интегрируема по R (М-Ш, К-Х) на [a,b] и [b,c], то f интегрируема в том же смысле на [a,c] и .

Доказательство

Докажем теорему для случая интеграла Римана.

Возьмем >0 и найдем такое >0: для  разбиений (T1,1) отрезка [a,b] с i1i1 и |i1|<для  i: . Найдем такое >0: для  разбиений (T2,2) отрезка [b,c] с i1i1 и |i1|<для  i: . Т.к. f ограниченна на [a,b] и [b,c] (в силу интегрируемости по R) f ограниченна на [a,с]. Возьмем >0, и .

Пусть (T,) произвольное отмеченное разбиение [a,с] с ii и |i|< для  i.

 точка разбиения – интегральная сумма, соответствующая [a,b], – интегральная сумма, соответсвующая [b,c]. Они отличаются от  меньше чем на 

2) . Пусть  с добавленной точкой b дважды, как отмеченной точки отрезков  и . Тогда имеем, что . Значит . Т.е. для случая R все доказано.