Дифференциальное исчисление функций многих переменных Курс лекций

Определение 5

Функция f из метрического пространства M в нормированное пространство N – бесконечно малая при  по множеству EM, если .

Если Е включает некотрую окрестность точки а0, то упоминание о Е обычно опускают.

Определение 6

Если f ограничена в некоторой , то  при аЕа0.

Определение 7

Пусть f и g функции из метрического пространства M в нормированное пространство N. Функция f – бесконечно малая от g при аЕа0, если а0 – предельная точка Е, f и g определены в некоторой  и  h(a)=o(1) при аЕа0: f(x)=h(x)g(x) в некоторой проколотой окрестности точки а0 на Е (то есть на некоторой ).

Аналогично для O(1). Функция h(x) – действительнозначная (комплекснозначная).

Теорема 7

Для f из метрического пространства М в нормированное пространство N  эквивалентное утверждение, что f(a)–b=o(1) при аЕа0 (то есть f(a)=b+o(1)).

Доказательство

– предельная точка Е, f ограничена в некоторой  и  

– предельная точка Е, f ограничена в некоторой  и

Теорема 8

1) Если (x) и (x) (из метрического пространства М в нормированное пространство N) бесконечно малые при хЕа0: (х)(х)=o(1) при хЕа0.

2) Если (x) (из M в N) и (х) (из M в R (или C)), одна из них O(1) при хЕа0, а другая – o(1) при хЕа0, а другая – o(1) при хЕа0, то (x)(х)=o(1) при хЕа0.

Доказательство

1*) Пусть , так как (tn)0 и (tn)0. Имеем (х)(х)=o(1) при хЕа0.

2*) Аналогично (tn)(tn)=O(1)o(1)=o(1) при n. Имеем (х)(х)=o(1) при хЕа0.