Дифференциальное исчисление функций многих переменных Курс лекций

Теорема

Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.

Доказательство

1*) Докажем, что из определения по Коши следует определение по Гейне. Пусть  .

2*) Докажем, что из невыполнения определения по Коши следует невыпонение определения по Гейне.  . Возьмем последовательность  и найдем соответствующую точку  и  .

Определение 4

Функция f (из M в N) имеет предел при  по , если  bN: выпоняется определение предела функции.

Теорема 3 (о пределе по подмножеству)

Если  и а0– предельная точка Е’ .

Доказательство

Доказательство сразу следует из определения предела по Гейне.