Теорема Больцано-Вейерштрасса
Из последовательности точек компакта можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство
1*) Множество значений последовательности конечно. В этом случае хотя бы одно значение принимается бесконечное число раз, и подпоследовательность, все члены которой принимают это значение, будет постоянной, то есть будет сходящейся.
2*) Множество значений последовательности бесконечно. В этом
случае множество имеет предельную точку. Обозначим последовательность an,
a0 – ее предельная точка. Так как в -окрестности точки a0
содержатся бесконечно много точек последовательности, то можно выбрать строго
возрастающую последовательность натуральных чисел nk так, что 
. Значит для подпоследовательности имеем: 
.
Следствие 1
В Rn из ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.
Определение 1
Функция (в смысле ближайших лекций) – это отображение метрического
пространства 
в метрическое пространство 
, или отображение части M в N.
Определение 2 (предела функции по Коши)
Функция f, отображающая из M в N, имеет предел равный bN
при 
по множеству EM,
если а0 – предельная точка Е, f определена в некоторой 
по множеству Е (т.е на 
), и выполняется условие: 
, или, иначе: 
, или, что эквивалентно: 
.
Определение 3 (предела функции по Гейне)
Функция f, отображающая из M в N, имеет предел равный bN
при по множеству EM,
если а0 – предельная точка Е, f определена в некоторой по множеству Е (т.е на ), и выполняется условие: 
, или, иначе: 
.