Теорема
Последовательность 
– последовательность Коши 
– последовательность Коши (последовательность в Rn – последовательность
Коши она последовательность Коши покоординатно).
Доказательство
Докажем необходимость. Она следует из неравенства 
.
Докажем достаточность. Если все xik – последовательности
Коши, то 
– последовательность Коши.
Теорема 5
Rn – полное метрическое пространство.
Доказательство
Если 
– последовательность Коши в Rn, то она последовательность
Коши покоординатно она сходится покоординатно
сходитится.
Следствие 2
В Rn последовательность замкнутых вложенных шаров имеет общую точку.