Дифференциальное исчисление функций многих переменных Курс лекций

Теорема 2 (о вложенных шарах)

В нормированном пространстве  последовательность вложенных шаров с радиусами, не стремящимися к 0, имеет общую точку.

Доказательство

1. Если нормированное пространство вырождено (состоит из одного 0), то утверждение верно.

2. Если нормирванное пространство невырождено, а   – последовательность замкнутых вложенных шаров с , то по Лемме 1 rn – не возрастающая последовательность .

Если номер .

Если kN, то это следует из вложенности шаров.

Если k>N, то по Лемме 1 .

Следствие 1

Нормированное пространство полно  в нем  последовательность вложенных шаров (замкнутых) имеет общую точку.

Теорема 3

Последовательность  сходится к   (сходимость в Rn эквивалентна покоординатной сходимости).

Доказательство

Докажем достаточность. Если  .

Докажем необходимость. Если .