Терема о вложенных шарах
Метрическое пространство М – полное в нем последовательность замкнутых вложенных шаров с радиусами, стремящимися к 0, имеет общую точку.
Доказательство
Докажем необходимость. Пусть М – полное пространство, 
– последовательность вложенных замкнутых шаров
в М с 
последовательность xk – последовательность Коши, так как
. Так как М – полно, то 
. Точка х – точка соприкосновения шара 
.
Докажем достаточность. Пусть в М последовательность
замкнутых вложенных шаров с радиусами, стремящимися к 0, имеет общую точку.
Докажем, что М – полно. Пусть xk – последовательность Коши. 
. Найдем Km>Nm и возьмем шары 
. Покажем, что 
если 
. Покажем, что 
.