ТОЭ Компьютерный монтаж Основы Flash Corel DRAW Учебник по схемотехнике Законы Кирхгофа P-CAD Autodesk Mechanical Desktop Электротехника Атомная физика Графический пакет OrCAD Теория множеств Оптическая физика Дифференциалы Интегралы Магнитные свойства Зонная теория Квантовая статистика Квантовая физика Магнитное поле Электростатика Геометрическая оптика Основы теории относительности Волновая функция Главную

Дифференциальное исчисление функций многих переменных Курс лекций

Терема о вложенных шарах

Метрическое пространство М – полное  в нем  последовательность замкнутых вложенных шаров с радиусами, стремящимися к 0, имеет общую точку.

Доказательство

Докажем необходимость. Пусть М – полное пространство,   – последовательность вложенных замкнутых шаров в М с  последовательность xk – последовательность Коши, так как . Так как М – полно, то . Точка х – точка соприкосновения  шара   . Локальный экстремум функции нескольких переменных Определение и необходимые условия существования локального экстремума Пусть функция z = f(x, y) определена на множестве {М}, а М0 (x0, у0) — некоторая точка этого множества. Определение. Функция z = f(x, у) имеет в точке М0 локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки M0, принадлежащая {М}, что для любой точки М(х, у) из этой окрестности выполняется неравенство f(M) ≤ f(M0) (f(М) ≥ f(М0)); для случая функции трех и более переменных локальный экстремум определяется аналогично.

Докажем достаточность. Пусть в М  последовательность замкнутых вложенных шаров с радиусами, стремящимися к 0, имеет общую точку. Докажем, что М – полно. Пусть xk – последовательность Коши.  . Найдем Km>Nm и возьмем шары . Покажем, что   если  . Покажем, что  .

Геометрическое изображение комплексного числа z = x + iy. Выберем декартову прямоугольную систему координат. По оси абцисс отложим вещественную часть числа х, по оси ординат отложим мнимую часть числа у, получим на плоскости точку z с координатами ( х,у ) Ось ох называется вещественной осью Ось оу называется мнимой осью. Вся плоскость хоу называется плоскостью комплексного переменного.