Теорема
1) Если в нормированном пространстве 
.
2) Если в нормированном пространстве 
.
Доказательство
1*) 
.
2*) 
.
Определение 7
Последовательность an точек метрического простраства – последовательность Коши, если 
.
Теорема 10
Если последовательность сходится, то это последовательность Коши.
Доказательство
Если 
.
Определение 8
Метрическое пространство – полное, если в нем последовательность Коши сходится.
Нормированное пространство – банаховое, если это полное метрическое пространство.