Интегральное исчисление Курс лекций

Теорема 3 (необходимое условие интегрируемости по Риману)

Если f интегрируема по R на [a,b], то f ограниченна на [a,b].

Доказательство

Если f неограниченна на [a,b], то она неограниченна сверху или снизу. Пусть f неограниченна сверху. Возьмем разбиение , хотя бы на одном отрезке разбиения i f также неограниченна сверху f(i), где ii, может принимать сколь угодно большие значения. То же и для f(i)|i|и  может при изменении i принимать сколь угодно большие значения.

Пример 1

Возьмем функцию Дирихле . Она интегрируема по Мак-Шейну и по Курцвейлю-Хенстоку, и ее интеграл равен 0.

Возьмем >0, занумеруем все рациональные точки, пусть . Положим для отмеченного разбиения (T,) согласованного с (x) имеем . С другой стороны 0.