ТОЭ Компьютерный монтаж Основы Flash Corel DRAW Учебник по схемотехнике Законы Кирхгофа P-CAD Autodesk Mechanical Desktop Электротехника Атомная физика Графический пакет OrCAD Теория множеств Оптическая физика Дифференциалы Интегралы Магнитные свойства Зонная теория Квантовая статистика Квантовая физика Магнитное поле Электростатика Геометрическая оптика Основы теории относительности Волновая функция Главную

Дифференциальное исчисление функций многих переменных Курс лекций

Теорема Больцано-Вейерштрасса

 бесконечное подмножество компакта в метрическом пространстве имеет предельную точку (принадлежащюю этому компакту).

Доказательство

Предположим обратное. Е – бесконечное подмножество компакта К в метрическом пространстве (М,), которое не имеет предельной точки  . При этом . Система таких окрестностей  покрывает М, а, значит, и К.  конечное подпокрытие К множествами . Это подпокрытие покрывает и Е и в  элементе  покрывает не более 1-ой точки Е. Получили противоречие с бесконечностью Е.

Следствие 1

 бесконечное подмножество Rn имеет предельную точку.

Определение 1

Последовательность точек в метрическом пространстве М – это отображение N в М:.

Подпоследовательность последовательности  точек метричеческого пространства М – это отображение N в М со свойством: , где nk – строго возрастающая последовательность натуральных чисел.

Определение 2

Точка аМ – предел последовательности  точек метрического пр-ва М, если , или, , или, .

Геометрическое изображение комплексного числа z = x + iy. Выберем декартову прямоугольную систему координат. По оси абцисс отложим вещественную часть числа х, по оси ординат отложим мнимую часть числа у, получим на плоскости точку z с координатами ( х,у ) Ось ох называется вещественной осью Ось оу называется мнимой осью. Вся плоскость хоу называется плоскостью комплексного переменного.