Дифференциальное исчисление функций многих переменных Курс лекций

Лемма

 n-мерный параллелепипед   – компакт.

Доказательство

Докажем от обратного. Пусть  такое покрытие П открытыми множествами, из которого нельзя выделить конечное подпокрытие. Разделим параллелепипед ПП1, по каждому ребру {ak,bk} пополам и получим 2n вдвое (по ребрам) меньших параллелепипедов. Хотя бы для одного из них также нельзя выделить конечное подпокрытие, пусть он – П2. Разделим П2 по каждому ребру пополам, получим 2n вдвое меньших параллелепипедов. Хотя бы для одного из них также нельзя выделить конечное подпокрытие, пусть он – П3. И т.д.

Получим последовательность вложенных параллелепипедов {П2}. Длины их ребер каждый раз уменьшаются вдвое и, следовательно, стемятся к 0. – отрезки. Для  – поледовательность вложенных отрезков. Значит  общая точка – общая точка всех Пk. . Найдем  . Получили противоречие.

Теорема 1

Множество в Rn – компакт  оно ограничено и замкнуто.

Доказательство

Неоходимость: доказано ранее, что  компакт – ограниченное замкнутое множество.

Достаточность: Пусть Е – ограниченное замкнутое множество в Rn  . П – компакт по Лемме 1, Е – его замкнутое подмножество и, значит, тоже компакт (по теореме из Лекции 17).