ТОЭ Компьютерный монтаж Основы Flash Corel DRAW Учебник по схемотехнике Законы Кирхгофа P-CAD Autodesk Mechanical Desktop Электротехника Атомная физика Графический пакет OrCAD Теория множеств Оптическая физика Дифференциалы Интегралы Магнитные свойства Зонная теория Квантовая статистика Квантовая физика Магнитное поле Электростатика Геометрическая оптика Основы теории относительности Волновая функция Главную

Дифференциальное исчисление функций многих переменных Курс лекций

Лемма

 n-мерный параллелепипед   – компакт.

Доказательство

Докажем от обратного. Пусть  такое покрытие П открытыми множествами, из которого нельзя выделить конечное подпокрытие. Разделим параллелепипед ПП1, по каждому ребру {ak,bk} пополам и получим 2n вдвое (по ребрам) меньших параллелепипедов. Хотя бы для одного из них также нельзя выделить конечное подпокрытие, пусть он – П2. Разделим П2 по каждому ребру пополам, получим 2n вдвое меньших параллелепипедов. Хотя бы для одного из них также нельзя выделить конечное подпокрытие, пусть он – П3. И т.д. Классификация вещественных функций вещественного аргумента Вещественные функции вещественного аргумента делят на два класса: элементарные и не элементарные.

Получим последовательность вложенных параллелепипедов {П2}. Длины их ребер каждый раз уменьшаются вдвое и, следовательно, стемятся к 0. – отрезки. Для  – поледовательность вложенных отрезков. Значит  общая точка – общая точка всех Пk. . Найдем  . Получили противоречие.

Теорема 1

Множество в Rn – компакт  оно ограничено и замкнуто.

Доказательство

Неоходимость: доказано ранее, что  компакт – ограниченное замкнутое множество.

Достаточность: Пусть Е – ограниченное замкнутое множество в Rn  . П – компакт по Лемме 1, Е – его замкнутое подмножество и, значит, тоже компакт (по теореме из Лекции 17).

Геометрическое изображение комплексного числа z = x + iy. Выберем декартову прямоугольную систему координат. По оси абцисс отложим вещественную часть числа х, по оси ординат отложим мнимую часть числа у, получим на плоскости точку z с координатами ( х,у ) Ось ох называется вещественной осью Ось оу называется мнимой осью. Вся плоскость хоу называется плоскостью комплексного переменного.