Теорема 1
Открытый шар – открытое множество, а замкнутый шар – замкнутое множество.
Доказательство
1*) Пусть 
. Найдем 
(например, 
). Покажем, что 
. Возьмем произвольный 
.
2*) Пусть 
. Найдем 
(например, 
). Покажем, что 
.
Возьмем произвольный 
.
Теорема 2
объединения и конечные пересечения открытых множеств – открытые множества, а пересеченияи конечные объединения замкнутых множеств – замкнутые множества.
Доказательство
1*) Пусть 
– открытые множества. Докажем, что 
– открытое множество. Возьмем 
.
Пусть 
– открытые множества. Докажем, что 
– открытое множество. Возьмем 
. Положим 
.
2*) Пусть 
– замкнутые множества. Докажем, что 
– замкнутое множество. 
– открытое множество.
Пусть 
– замкнутые множества. Докажем, что 
– замкнутое множество. 
– открытое множество.