Определение
Пара (М,||*|| ), где N – линейное векторное пространство над R или C, а ||*|| – функция, отображающая N в R – нормированное пространство, если:
1) 
.
2) Для числа из R или C (в зависимости
от того, над каким полем рассматривается линейное пространство N) 
.
3) (неравенство треугольника) 
.
Функция ||*|| – норма, а пространство N – нормированное пространство (не совсем точно).
Утверждение 1
нормированное пространство (N, ||*|| ) является метрическим пространством |N,| c (x,y)=||x–y||.
Доказательство
Проверяем все свойства согласно определению.
2*) 
.
3*) 
.
Определение 3
Пространство Rn – это множество упорядоченных наборов из n действительных чисел (x1,x2,…,xn), в которм введена структура линейного пространства над полем R: (x1,…,xn)+ (y1,…,yn)= (x1+y1,…,xn+yn) и N (x1,…,xn)= (x1,…,xn).
Лемма 1 (неравенство Коши-Буняковского-Шварца)
Для 
, причем равенство имеет место один из векторов
пропорционален другому.
Доказательство
Если все ak=0, то утверждение верно.
Если не все ak равны 0, то рассмотри трехчлен 
Утверждение 2
Пространство Rn с нормой 
является нормированным пространством (а значит и метрическим
пространством).
Доказательство
Проверяем все условия нормированного пространства.
1*) и 2*) – тривиально.
3*) Используем Лемму 1. Докажем, что 
. Это неравенство эквивалентно следующему: 
, что верно.