ТОЭ Компьютерный монтаж Основы Flash Corel DRAW Учебник по схемотехнике Законы Кирхгофа P-CAD Autodesk Mechanical Desktop Электротехника Атомная физика Графический пакет OrCAD Теория множеств Оптическая физика Дифференциалы Интегралы Магнитные свойства Зонная теория Квантовая статистика Квантовая физика Магнитное поле Электростатика Геометрическая оптика Основы теории относительности Волновая функция Главную

Дифференциальное исчисление функций многих переменных Курс лекций

Определение

Пара (М,||*|| ), где N – линейное векторное пространство над R или C, а ||*|| – функция, отображающая N в R – нормированное пространство, если:

1) .

2) Для  числа  из R или C (в зависимости от того, над каким полем рассматривается линейное пространство N) .

3) (неравенство треугольника) .

Функция ||*|| – норма, а пространство N – нормированное пространство (не совсем точно). Курс лекций по математике Решение систем линейных уравнений Решение дифференциальных уравнений

Утверждение 1

 нормированное пространство (N, ||*|| ) является метрическим пространством |N,| c (x,y)=||x–y||.

Доказательство

Проверяем все свойства согласно определению.

2*) .

3*) .

Определение 3

Пространство Rn – это множество упорядоченных наборов из n действительных чисел (x1,x2,…,xn), в которм введена структура линейного пространства над полем R: (x1,…,xn)+ (y1,…,yn)= (x1+y1,…,xn+yn) и  N (x1,…,xn)= (x1,…,xn).

Лемма 1 (неравенство Коши-Буняковского-Шварца)

Для , причем равенство имеет место  один из векторов  пропорционален другому.

Доказательство

Если все ak=0, то утверждение верно.

Если не все ak равны 0, то рассмотри трехчлен  

Утверждение 2

Пространство Rn с нормой  является нормированным пространством (а значит и метрическим пространством).

Доказательство

Проверяем все условия нормированного пространства.

1*) и 2*) – тривиально.

3*) Используем Лемму 1. Докажем, что  . Это неравенство эквивалентно следующему:   , что верно.

Геометрическое изображение комплексного числа z = x + iy. Выберем декартову прямоугольную систему координат. По оси абцисс отложим вещественную часть числа х, по оси ординат отложим мнимую часть числа у, получим на плоскости точку z с координатами ( х,у ) Ось ох называется вещественной осью Ось оу называется мнимой осью. Вся плоскость хоу называется плоскостью комплексного переменного.