Теорема 1
Функция f интегрируема на [a,b] по Риману (Мак-Шейну, Курцвейлю-Хенстоку)
f определена на [a,b] и 
.
.
Теорема следует из критерия Коши предела по базе.
Теорема 2
Если f интегрируема по R(М-Ш, К-Х) на[a,b] то f интегрируема
в том же смысле на подотрезке 
.
Доказательство
…:
Возьмем то же >0 ((x)>0) и два
разбиения 
( для М-Ш
, а для К-Х еще и 
). Докажем, что 
Если 
, то найдем разбиение (Tа,а)
отрезка 
удовлетворяющее условию:
( для М-Ш 
,
а для К-Х еще и 
) для
i. Если 
, то найдем аналогичное
разбиение (Tb,b) отрезка 
, удовлетворяющее тем же условиям. Пусть 
и 
– отмеченные разбиения [a,b]. Эти разбиения удовлетворяют
ранее указанным условиям для разбиений (T,), (T’,’).
Значит 
.
Но 
выполняется критерий Коши.