Интегральное исчисление Курс лекций

Основная теорема Лемма

Для  масштаба х>0 на [a,b]  отмеченное разбиение (T,) с  и согласованное с х

Доказательство.

Докажем от обратного, т.е. допустим, что для некоторого масштаба функции х>0 на [a,b] такого отмеченного разбиения нет. Обозначим I1=[a,b]. Пусть I2 – та половина I1, которая также не имеет согласованного разбиения с ; I3 – … и т.д. Получим последовательность вложенных отрезков Iк, к=1,2,…, которые не имеют согласованного разбиения с Пусть – общая точка отрезков Iк.. Т.к. , то  при . Тогда отмеченное разбиение (T,) , где T={aK,bK} – концов Iк, будет согласованно с масштабом хразбиения Iк, причем  получаем противоречие из-за наличия согласованности.

 

Следствия

Для  масштаба х>0 на [a,b]::

1).

2).

3).

 

Свойства:

Если f интегрируема по Риману на [a,b] и I – ее интеграл Римана, то f интегрируема по Курцвейлю-Хенстоку на [a,b] и I – ее интеграл.

Если f интегрируема по Мак-Шейну на [a,b] и I – ее интеграл Мак-Шейна, то f интегрируема по Курцвейлю-Хенстоку на [a,b] и I – ее интеграл.  

Если f интегрируема на [a,b] в  из трех смыслов, то ее интеграл единственный. (из единственности предела по базе).

(Линейность по функциям)

Если f интегрируема в  из трех смыслов на [a,b], то для  С функция Сf интегрируема в том же смысле на [a,b] и .

Если f и g интегрируемы в  из трех смыслов на [a,b], то fg интегрируема в том же смысле на [a,b] и .

(Сохранение неравенств)

Если f и g интегрируемы в  из трех смыслов на [a,b], и f(x)g(x), то .